1、第5讲 直线、平面垂直的判定与性质,1.直线与平面垂直,(续表),2.平面与平面垂直,3.直线与平面所成的角,(1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所,成的角等于 0.,(2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于,90.,(3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线与平面所成的角，其范围是(0，90).斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.,4.二面角,从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二
2、面角叫做直二面角.,1.垂直于同一条直线的两条直线一定(,),D,A.平行C.异面,B.相交D.以上都有可能,2.(2017 年新课标)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E 为棱,),C,CD 的中点，则(A.A1EDC1C.A1EBC1,B.A1EBDD.A1EAC,3.如图 8-5-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论中正,确的个数是(,),D,图 8-5-1BD1AC；BD1A1C1；BD1B1C.,A.0 个,B.1 个,C.2 个,D.3 个,4.(2013 年新课标)已知 m，n 为异面直线，m平面，n,平面.直线 l 满足 lm，ln，l ，l ，则(,),D
3、,A.，且 lB.，且 lC.与相交，且交线垂直于 lD.与相交，且交线平行于 l解析：根据所给的已知条件作图，如图 D58.由图可知与 相交，且交线平行于 l.故选 D.图 D58,考点 1,直线与平面垂直的判定与性质,例 1：(2014 年山东)如图 8-5-2，在四棱锥 P-ABCD 中，APPC 的中点.求证：(1)AP平面 BEF；(2)BE平面 PAC.图 8-5-2,证明：(1)如图 D59，图 D59设 ACBEO，连接 OF，EC.由于 E 为 AD 的中点，,AE,BC.四边形 ABCE 为平行四边形.,又 AEAB，则 ABCE 为菱形.O 为 AC 的中点.,又 F 是
4、 PC 的中点，,在PAC 中，PA OF.,OF平面 BEF，且 PA 平面 BEF，AP平面 BEF.,(2)由题意知，EDBC，EDBC，四边形 BCDE 为平行四边形.因此 BECD.,又 AP平面 PCD，,APCD.因此 APBE.四边形 ABCE 为菱形，BEAC.,又 APACA，AP，AC平面 PAC ，BE平面 PAC .,【规律方法】直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直，通过直线与平面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.,【互
5、动探究】1.已知直线 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的平面，C 为,),圆上异于 A，B 的任一点，则下列关系中不正确的是(图 8-5-3,A.PA BCC.ACPB,B.BC平面 PACD.PCBC,解析：AB 为直径，C 为圆上异于 A，B 的一点，所以 ACBC.因为 PA 平面 ABC，所以 PA BC.因为 PA ACA，所以 BC平面 PAC .从而 PCBC.故选 C.,答案：C,考点 2,平面与平面垂直的判定与性质,例 2：(2017 年新课标)如图 8-5-4，在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD，且BAPCDP90.(1)证明：平面 PAB平面 PAD ；(2)若 P
6、A PDABDC，APD90，且四棱锥P-ABCD图 8-5-4,(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD.,由于 ABCD，故 ABPD ，从而 AB平面 PAD .又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD .,(2)解：如图 D60，在平面 PAD 内作 PEAD，垂足为 E，,图 D60,【规律方法】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想,的常见类型.,证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.,证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证,明线线垂直.,【互动探究】2.如图 8-5-5
7、，在立体图形 D-ABC 中，若 ABCB，AD,CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是(,),图 8-5-5A.平面 ABC平面 ABDB.平面 ABD平面 BDCC.平面 ABC平面 BDE，且平面 ADC平面 BDED.平面 ABC平面 ADC，且平面 ADC平面 BDE,解析：要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直.因为 ABCB，且 E 是 AC 的中点，所以 BEAC，同理有 DEAC，于是 AC平面 BDE.因为 AC在平面 ABC 内，所以平面 ABC平面 BDE.又由于 AC平面ADC，所以平面 ADC平面 BDE.故选 C.,答案：C,
8、考点 3,线面所成的角,例 3：(2016 年天津)如图 8-5-6，四边形 ABCD 是平行四边 形，平面 AED平面 ABCD，EFAB，AB2，BCEF1， AE ，DE3，BAD60，G 为 BC 的中点.图 8-5-6(1)求证 FG平面 BED；(2)求证平面 BED平面 AED；(3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.,(1)证明：取 BD 的中点为 O，连接 OE，OG.在BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，,又因为 EFAB，ABDC，所以 EFOG，且 EFOG，即四边形 OGFE 是平行四边形.所以 FGOE.,又 FG 平面 BED，OE平面 BED，所
9、以 FG平面 BED.,(2)证明：在ABD 中，AD1，AB2，BAD60，由,余弦定理可得 BD .,进而可得ADB90，即 BDAD.,又因为平面 AED平面 ABCD，BD平面 ABCD，平面 AED平面 ABCDAD，所以 BD平面 AED.,又因为 BD平面 BED，所以平面 BED平面 AED.,(3)解：因为 EFAB，所以直线 EF 与平面 BED 所成角即 为直线 AB 与平面 BED 所成角.过点 A 作 AHDE 于点 H，连接 BH，又因为平面 BED 平面 AEDED，由(2)知 AH平面 BED.所以直线 AB 与平面 BED 所成角即为ABH.,【规律方法】(1
10、)证明线面平行，一般利用线面平行判定定 理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往 往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取 BD 的 中点为 O，可证四边形 OGFE 是平行四边形，从而得出 FG,OE.,(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直 的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂 直的证明有时需要利用平面几何条件，如本题可由余弦定理解 出ADB90，即 BDAD.,(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点 A 作 AHDE 于点 H，则 AH平面 BED，从而直线 AB 与平面
11、BED 所成 角即为ABH.再结合三角形可求得正弦值.,【互动探究】,3.如图 8-5-7，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面BB1C1C 所成角的大小是_.,图 8-5-7,解析：如图 D61，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 AE 平面 BB1C1C.所以ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设三棱柱的所有棱长为 a，,图 D61,答案：, 3,4.(2016 年安徽皖南八校联考) 四棱锥 V-ABCD 中，底面ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧面的腰长为 3 的等腰,
12、三角形，则二面角 V-AB-C 的余弦值的大小为(,),解析：如图 D62，取 AB 中点 E，过 V 作底面的垂线，垂足为 O，连接 OE.,图 D62答案：B,难点突破,立体几何中的探究性问题二,例题：已知四棱锥 P-ABCD 的直观图及三视图如图 8-5-8. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积；,(2)若点 E 是侧棱 PC 的中点，求证 PA 平面 BDE；,(3)若点 E 是侧棱 PC 上的动点，是否无论点 E 在什么位置，,都有 BDAE？并证明你的结论.,图 8-5-8,思维点拨：(1)由直观图及三视图确定棱锥的底面和高，再,求体积.,(2)欲证PA 平面 BDE，需找一条与
13、 PA 平行并在平面BDE内的直线，结合 E 为 PC 的中点，AC 与 BD 的交点为 AC 的中点，设 AC 的中点为 F，故取直线 EF.,(3)“无论点 E 在 PC 上的什么位置，都有 BDAE ”的含,义是 BD平面 PAC .,(1)解：由四棱锥 P-ABCD 的直观图和三视图知，该四棱锥的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC2，,(2)证明：如图 8-5-9，连接 AC，交 BD 于点 F，则 F 为 AC,的中点.,图 8-5-9,又E 为 PC 的中点，PA EF.又 PA 平面 BDE，EF平面 BDE，PA 平面 BDE.,(3)解：无论点 E 在什么位置，都有 BDAE.证明如下：四边形 ABCD 是正方形，BDAC.PC底面 ABCD，且 BD平面 ABCD，BDPC.,又 ACPCC，BD平面 PAC .,无论点 E 在 PC 上什么位置，都有 AE平面 PAC ，无论点 E 在 PC 上什么位置，都有 BDAE.,
