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2019届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题课时作业.doc

上传人:天天快乐 文档编号:1474132 上传时间:2018-07-20 格式:DOC 页数:8 大小:108.50KB
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资源描述

1、1第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题课时作业A 组基础对点练1已知动点 C 到点 F(1,0)的距离比到直线 x2 的距离小 1,动点 C 的轨迹为 E.(1)求曲线 E 的方程;(2)若直线 l: y kx m(km0), 1, p2,p2动点 C 的轨迹 E 的方程为 y24 x.(2)设 A(x1, y1), B(x2, y2),由Error!得 k2x2(2 km4) x m20, x1 x2 , x1x2 .4 2kmk2 m2k2 5, x1x2 y1y2(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 5,OA OB m2 4kmk2 m24 km5 k20, m k 或 m

2、5 k. km0,直线 l 的方程为 y k(x5),直线 l 必经过定点(5,0)2(2018昆明市检测)已知点 A, B 的坐标分别为( ,0),( ,0),直线 AM, BM 相交2 2于点 M,且它们的斜率之积是 ,点 M 的轨迹为曲线 E.12(1)求曲线 E 的方程;(2)过点 F(1,0)作直线 l 交曲线 E 于 P, Q 两点,交 y 轴于 R 点,若 1 , 2 ,证明: 1 2为定值RP PF RQ QF 解析:(1)设点 M(x, y),由已知得 (x ),yx 2 yx 2 12 2化简得曲线 E 的方程: y21( x )x22 2(2)证明:设点 P, Q, R

3、的坐标分别为2P(x1, y1), Q(x2, y2), R(0, y0)由 1 ,得( x1, y1 y0) 1(1 x1, y1),RP PF 所以 x1 , y1 , 11 1 y01 1因为点 P 在曲线 E 上,所以 ( )2( )21,12 11 1 y01 1化简得 4 122 y 0 ,21 20同理,由 2 ,可得 x2 , y2 ,RQ QF 21 2 y01 2代入曲线 E 的方程化简得 4 222 y 0 ,2 20由可知 1, 2是方程 x24 x22 y 0 的两个实数根( 0),20所以 1 24,即 1 2为定值3在平面直角坐标系中,已知点 A( ,0), B(

4、 ,0),直线 MA, MB 交于点 M,它们的3 3斜率之积为常数 m(m0),且 MAB 的面积最大值为 ,设动点 M 的轨迹为曲线 E.3(1)求曲线 E 的方程;(2)过曲线 E 外一点 Q 作 E 的两条切线 l1, l2,若它们的斜率之积为1,那么 是否QA QB 为定值?若是,请求出该值;若不是,请说明理由解析:(1)设 M(x, y),则由已知得 m,即 y2 m(x23),yx 3 yx 3即 1( x )(*)x23 y23m 3当 m0 时,方程(*)表示双曲线,此时 MAB 面积不存在最大值(不符合);当 m1 时,方程(*)表示圆,此时 MAB 的面积最大值为 3(不

5、符合);当 mb0)的焦点为 F1, F2,离心率为 ,点 P 为其上一动点,且x2a2 y2b2 12三角形 PF1F2的面积最大值为 , O 为坐标原点3(1)求椭圆 C 的方程;(2)若点 M, N 为 C 上的两个动点,求常数 m,使 m 时,点 O 到直线 MN 的距离为定OM ON 值,求这个定值解析:(1)依题意知Error!解得Error!所以椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)设 M(x1, y1), N(x2, y2),则 x1x2 y1y2 m,当直线 MN 的斜率存在时,设其方程为 y kx n,则点 O 到直线 MN 的距离 d |n|k2 1,n2k2 1联

6、立,得Error!消去 y,得(4 k23) x28 knx4 n2120,由 0 得 4k2 n230,则x1 x2 , x1x2 , 8kn4k2 3 4n2 124k2 3所以 x1x2( kx1 n)(kx2 n)( k21) x1x2 kn(x1 x2) n2 m,整理得 12 .7n2k2 1 m 4k2 3k2 1因为 d 为常数,则 m0, d ,n2k2 1 127 2217此时 12 满足 0.7n2k2 1当 MN x 轴时,由 m0 得 kOM1,联立,得Error!消去 y,得 x2 ,点 O 到直线 MN 的距离 d| x| 亦成立127 2217综上,当 m0 时

7、,点 O 到直线 MN 的距离为定值,这个定值是 .2217B 组能力提升练41如图,已知直线 l: y kx1( k0)关于直线 y x1 对称的直线为 l1,直线 l, l1与椭圆 E: y21 分别交于点 A, M 和 A, N,记直线 l1的斜率为 k1.x24(1)求 kk1的值;(2)当 k 变化时,试问直线 MN 是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点坐标;若不恒过定点,请说明理由解析:(1)设直线 l 上任意一点 P(x, y)关于直线 y x1 对称的点为 P0(x0, y0),直线 l 与直线 l1的交点为(0,1), l: y kx1, l1: y k1x1, k , k1

8、 ,y 1x y0 1x0由 1,y y02 x x02得 y y0 x x02 ,由 1,得 y y0 x0 x ,y y0x x0由得Error!kk1yy0 y y0 1xx0 1. x 1 x0 1 x x0 2 1xx0(2)由Error! 得(4 k21) x28 kx0,设 M(xM, yM), N(xN, yN), xM , yM . 8k4k2 1 1 4k24k2 1同理可得 xN , yN . 8k14k21 1 8k4 k2 1 4k214k21 1 k2 44 k2kMN ,yM yNxM xN1 4k24k2 1 k2 44 k2 8k4k2 1 8k4 k2 8

9、8k48k 3k2 3 k2 13k直线 MN: y yM kMN(x xM),即 y (x ),1 4k24k2 1 k2 13k 8k4k2 15即 y x x .k2 13k 8 k2 13 4k2 1 1 4k24k2 1 k2 13k 53当 k 变化时,直线 MN 过定点(0, )532.(2018合肥市质检)如图,在平面直角坐标系中,点 F(1,0),过直线 l: x2 右侧的动点 P 作 PA l 于点 A, APF 的平分线交 x 轴于点 B,| PA| |BF|.2(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;(2)过点 F 的直线 q 交曲线 C 于 M, N,试问: x 轴正半

10、轴上是否存在点E,直线 EM, EN 分别交直线 l 于 R, S 两点,使 RFS 为直角?若存在,求出点 E 的坐标,若不存在,请说明理由解析:(1)设 P(x, y),由平面几何知识得 ,|PF|PA| 22即 , x 1 2 y2|x 2| 22化简得 x22 y22,所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x22 y22( x )2(2)假设满足条件的点 E(n,0)(n0)存在,设直线 q 的方程为 x my1,M(x1, y1), N(x2, y2), R(2, y3), S(2, y4)联立,得Error!消去 x,得( m22) y22 my10,y1 y2 , y1y2 ,2m

11、m2 2 1m2 2x1x2( my11)( my21) m2y1y2 m(y1 y2)1 1 ,m2m2 2 2m2m2 2 2 2m2m2 2x1 x2 m(y1 y2)2 2 ,2m2m2 2 4m2 2由条件知 , y3 ,y1x1 n y3 2 n 2 n y1x1 n同理 y4 , kRF y3, 2 n y2x2 n y3 2 1kSF y4.因为 RFS 为直角,所以 y3y41,所以(2 n)2y1y2 x1x2 n(x1 x2) n2,(2 n)2 n2,1m2 2 2 2m2m2 2 4nm2 2所以( n22)( m21)0, n ,26故满足条件的点 E 存在,其坐标

12、为( ,0)23已知椭圆 C:9 x2 y2 m2(m0),直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A, B,线段 AB 的中点为 M.(1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;(2)若 l 过点( , m),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若能,m3求此时 l 的斜率;若不能,说明理由解析:(1)证明:设直线 l: y kx b(k0, b0), A(x1, y1), B(x2, y2), M(xM, yM)将 y kx b 代入 9x2 y2 m2得( k29) x22 kbx b2 m20,故 xM ,

13、yM kxM b .x1 x22 kbk2 9 9bk2 9于是直线 OM 的斜率 kOM ,yMxM 9k即 kOMk9.所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值(2)四边形 OAPB 能为平行四边形因为直线 l 过点( , m),所以 l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0, k3.由(1)得m3OM 的方程为 y x.9k设点 P 的横坐标为 xP,由Error! 得 x ,2Pk2m29k2 81即 xP .km3k2 9将点( , m)的坐标代入 l 的方程得 b ,m3 m 3 k3因此 xM .km k 33 k2 9四边形 OAPB 为平行四边形,当且仅当线段

14、 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP2 xM.于是 2 ,km3k2 9 k k 3 m3 k2 9解得 k14 , k24 .因为 ki0, ki3, i1,2,7 7所以当 l 的斜率为 4 或 4 时,四边形 OAPB 为平行四边形7 74(2018长沙市模拟)已知 P( , )在椭圆 C: 1( ab0)上, F 为右焦点, PF 垂312 x2a2 y2b2直于 x 轴 A, B, C, D 为椭圆上四个动点,且 AC, BD 交于原点 O.7(1)求椭圆 C 的方程;(2)判断动直线 l: x( m n)y m n(m, nR)与椭圆 C 的位置关系;m n2 3 12 3 1

15、2(3)设 A(x1, y1), B(x2, y2)满足 ,判断 kAB kBC的值是否为定值,若是,请求出y1y2OA OB 15此定值,并求出四边形 ABCD 面积的最大值,否则请说明理由解析:(1) P( , )在椭圆 C: 1( ab0)上, 1.312 x2a2 y2b2 3a2 14b2又 F 为右焦点, PF 垂直于 x 轴, .a2 b2 3由,解得 a2, b1,椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)将动直线 l 的方程 x( m n)y m n(m, nR),m n2 3 12 3 12化为( y )m( y )n0.x2 3 12 x2 3 12 m, nR,Error

16、!解得Error!动直线 l 恒过点 P, P 在椭圆 C 上,动直线 l 与椭圆 C 的位置关系是相切或相交(3) ,4 y1y2 x1x2.当直线 AB 的斜率不存在或斜率为 0 时,不满足y1y2OA OB 154y1y2 x1x2.当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为y kx m,联立,得Error!得(14 k2)x28 kmx4( m21)0, (8 km)24(4 k21)4( m21)16(4 k2 m21)0(*)Error!4 y1y2 x1x2, y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2,(4 k21) x1x24 km

17、(x1 x2)4 m20,(4 k21) 4 km 4 m20,4 m2 11 4k2 8km1 4k2整理得 4k21, k .12 A, B, C, D 的位置可轮换,直线 AB, BC 的斜率是 或 ,12 128 kAB kBC ( )0,为定值12 12不妨设 kAB ,则Error!12设原点到直线 AB 的距离为 d,则S AOB |AB|d |x2 x1| 12 121 k2 |m|1 k2 |m|2 x1 x2 2 4x1x2 |m|2 1.4m2 42 m2 1 m2 2 m2m2 2 m22当 m21 时(满足(*), S AOB1, S 四边形 ABCD4 S AOB4,即四边形 ABCD 面积的最大值为 4.

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