1、- 1 -2018 年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试理科数学一选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12iA B C D43i543i534i534i52.已知集合 ，B=2，0，1，2，则 A B=x2A.0，1 B.0，1，2 C.1，2 D.2，0，1，23函数 的图像大致为 20xf4已知向量 ， 满足 ， ，则ab|26ab(2)abA10 B12 C14 D165双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为21(0,)xyabA B C Dyx2yx32yx6我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领
2、先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 在不超过 30 的素数中，随307机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A B C D11415187已知 是定义域为 的奇函数，满足 若 ，则()fx(,)()()fxf(1)2f123)2018ffA B0 C2 D5008- 2 -8已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过1F221(0)xyCab： ACP且斜率A为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为3612PF 120FPA. B C D2 3149设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C
3、交于 M， N 两点，2则 =FMNA5 B6 C7 D810设函数 ，若 为奇函数，则曲线 在点()sin2(1)sinfxaxa()fx()yfx处的切线方程为(0,)A B C Dyxyx2yx3yx11已知正方体的棱长为 2，每条棱所在直线与平面 所成的角相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为A B C D383322312已知函数 有唯一零点，则 a=222()(10)xxfxaA B C D43 二填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_xyy02xz34xy14.( + )(2 - )5的展开式中 3 3的系数为_x
4、y15.已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上，则该圆柱2的体积为_16.在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 = AP+ ，则 + 的最大值为_ABD- 3 -三.解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17.（本小题满分 12 分）设函数 ，其中 .已知 .()sin)sin()62fxx03()06f（）求 ；（）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2
5、 倍（纵坐标不变） ，再将得到()yf的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值.4()ygx()gx3,418（本小题满分 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25） ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，
6、15） 15，20） 20，25） 25，30） 30，35） 35，40）天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。（）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列；（）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？19.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA底面 ABC， .点 D，E，N 分别为棱 PA，PC，BC90BAC的中点，M 是线段 AD 的中点，PA=AC=4，AB=2.- 4 -（）求证：MN平面 BDE；（）求二
7、面角 C-EM-N 的正弦值；（）已知点 H 在棱 PA 上，且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ，求线段 AH 的长.72120.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C： （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， ） ，P4（1，2=1xyab 32）中恰有三点在椭圆 C 上.32（）求 C 的方程；（）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点.21. （本小题满分 12 分）已知函数 ()2)ln(1()fxxaR（）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；1ayf0,f（）若
8、在 上恒成立，求实数 的取值范围；()0fx,()（）若数列 的前 项和 ， ，求证：数列 的前 项和na231nS4nbanb.l(1)2nT- 5 -请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线 ,曲线 上任意一点到极点 的距离等于它到直线 的距:2lpcosCOl离.(I)求曲线 的极坐标方程;C（）若 是曲线 上两点，且 ,求 的最大值.PQ、 OPQ1+O23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 .21fxx(I)求 的最小值 ;m(II)若 均为正实数
9、，且满足 ,求证: .abc、 、 abcm223bca- 6 -2018 年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试理科数学答案一选择题1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.C 8.D 9.D 10.D 11.A 12.A二填空题13. 14.40 15. 16.1682三解答题17 解：（）因为 ，()sin)sin()2fxx所以 31()ico2fx 3icosx1(sins)x3(sin)x由题设知 ，所以 ， .)06f6kZ故 ， ，又 ，所以 .2kZ32（）由（）得 ()sin(2)fxx所以 .()3si431gx因为 ，,所以 ，当 ，21x2x即 时， 取得
10、最小值 .4()g318.解：（）由题意知， 所有的可能取值为 200,300,500，由表格数据知X21600.9PX630.49P.因此 的分布列为574XX20350P0.2 0.4 0.4- 7 -（）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑205n 当 时，30 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n若最高气温位于区间 ，则Y=6300+2（n-300）-4n=1200-2n;2， ,5若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n0.4+（1200-2n）0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n
11、当 时，203n若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200）-4n=800-2n;因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元。19.解：如图，以 A 为原点，分别以 ， ， 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间ABCP直角坐标系.依题意可得A（0，0，0） ， B（2，0，0） ， C（0，4，0） ， P（0，0，4） ， D（0，0，2） ， E（0，2，2） ，M（0，0，1） ， N（1，2，0）.（）证明： =（0，2，
12、0） ， =（2，0， ）.设 ，为平面 BDE 的法向量，DEDB(,)xyzn则 ，即 .不妨设 ，可得 .又 =（1，2， ） ，可得Bnyxz1z(1,0)MN.0MN因为 平面 BDE，所以 MN/平面 BDE.（）易知 为平面 CEM 的一个法向量.设 为平面 EMN 的法向量，则1(,)n2(,)xyzn- 8 -，因为 ， ，所以 .不妨设 ，可20EMNn(0,21)(,21)MN20yzx1y得 .2(4,1)因此有 ，于是 .12124cos,|n1205sin,所以，二面角 CEMN 的正弦值为 .105（）解：依题意，设 AH=h（ ） ，则 H（0，0， h） ，进
13、而可得 ，4 (1,2)NHh.由已知，得 ，整理得(2,)BE 2|7|cos, 53NBE，解得 ，或 .21080h85h12所以，线段 AH 的长为 或 .20.解：（）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点.3P4 3P4又由 知， C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.221ab因此 ，解得 .2134ab24ab故 C 的方程为 .21xy（）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1， k2，如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x=t，由题设知 ，且 ，可得 A， B 的坐标分别为（ t，0t|t） ， （ t， ）.24t24t则 ，得
14、，不符合题设.2212 1ttk2t从而可设 l： （ ）.将 代入 得ykxmykxm214y22(41)840k由题设可知 .=6(1)k- 9 -设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 x1+x2= ， x1x2= .84km4k而 212k1xmkx.212()由题设 ，故 .12k1212()()0kxmx即 . 解得 .48() 04m1k当且仅当 时， ，欲使 l： ，即 ，12yx1(2)myx所以 l 过定点（2， ）21. 解：（）因为 ，所以 ，1a()ln(f x，切点为 .(0)ln10f(0,)由 ，所以 ，所以曲线 在 2l(xfx 02ln(1
15、)1f()yfx处的切线方程为 ，即(0,)01()yxy（）由 ，令 ， 2()ln)xfxa()(0,)gfx则 （当且仅当 取等号）.故 在 上为221() 0()(1)gx ()fx0,)增函数.当 时， ,故 在 上为增函数，2a()0ff()f0,)所以 恒成立，故 符合题意；()fx2a当 时，由于 ， ，根据零点存在定理，2a(0)f 1()0aafe必存在 ，使得 ，由于 在 上为增函数，(,1ateftfx,)故当 时， ,故 在 上为减函数， 0)x()0ft()x(0,)t所以当 时， ,故 在 上不恒成立，所以 不符合(,tff,)2a- 10 -题意.综上所述，实数
16、 的取值范围为a(,2（III）证明：由 24,13,1331, .2,nnnSab由（）知当 时， ，故当 时， ， 0x(2)lx0xl(1)x故 ，故 .下面证明：2ln(1)1n112ln()nkkln()2T因为 1 2l()l()l()l()ln()l(1)3nk n 456112l(3)lnl()2l2n而， 23nT122241111313nnk Tn所以， ，即：ln()2l3nTl()2ln23n22.解:()设点 是曲线 上任意一点，则 ,即Mp， C cos=1cos(II) 设 ,则 .12,PQ， 、 12in2+OPQ23.解:(I)当 时，1x2123,fxx当 时， ,12 46当 时，x=3,fxx- 11 -综上， 的最小值fx3m(II) 证明: 均为正实数，且满足 ,abc、 、 abcm22222()cb( 当且仅当 时，取“=”)222()baacc 1abc ，即22cb223abc
