1、1解直角三角形解直角三角形的基本类型以及解法图形 已知类型 已知条件 解法步骤斜边，一直角边（如 c、 a） b ；c2 a2由 sinA ，求A；acB90A两边两直角边（如 a、 b） c ；a2 b2由 tanA ，求A；abB90A斜边，一锐角（如 c，A）B90A；由 sinA ，求 a csinA；ac由 cosA ，求 b ccosAbcABCabc一边一角一直角边，一锐角（如 a、A）B90A；由 tanA ，求 b ；ab atanA由 sinA ，求 cac asinA方法归纳：（1）直角三角形中的五个元素：两条直角边，一条斜边，两个锐角。在没有特殊说明的情况下， “解直角
2、三角形”即求出所有的未知元素。（2）直角三角形的特殊性质：直角三角形 中，30角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（3）直角三 角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积。总结：1. 能够利用勾股定理、三角函数解直角三角形；2. 会添加适当的辅助线构造直角三角形解决斜三角形的问题。例题 如图，在 ABC 中， AD 是 BC 边上的高，AE 是 BC 边上的中线，C45，sinB ，AD1。13（1）求 BC 的长；（2）求 tanDAE 的值。解 析 ： （1）先由三角形的高的定义得出ADBADC90，再解 RtADC，得出2DC1；解 RtADB，得出 AB3，
3、根据勾股定理求出 BD，然后根据 BCBDDC 即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出 CE 的值，则 DECECD，然后在 RtADE 中根据正切函数的定义即可求解。答 案 ： （1）在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，ADBADC90。在ADC 中，ADC90，C45，AD1，DCAD1。在ADB 中，ADB90，sinB ，AD1，AB 3，BD 2 ，BCBDDC2 1；13 ADsinB AB2 AD2 2 2（2）AE 是 BC 边上的中线，CE BC ，DECECD ，tanDAE 。12 2 12 2 12 DEAD 2 12点拨：本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股
4、定理，解直角三角形等知识点，难度中等，解答这类问题时注意将相关的边和角转化到相应的直角三角形中。解直角三角形时应注意以下问题：（1）在求解有关解直角三角形的问题时，要画出图形，以利于分析解决问题；（2）选择关系式时要尽量利用原始数据，以防止“累积错误” ；（3）遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形后再求解。总之，解直角三角形时，选择恰当的边角关系式尤为重要，恰当的边角关系不仅能使问题迅速解决，而且还会使计算简便、过程简捷，达到事半功倍的效果。解直角三角 形的方法遵循“有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，化斜为直”的原则。满分训练 如图所示，在ABC 中，AD 为A 的
5、平分线，AB3，AC5，BAC120，求 AD 的长。 ABCD35解 析 ： 要求 AD，需选择适当的三角形使 AD 为其一边，这样才能方便地运用有关知识处理问题，所以本题应考虑将 AD 构造成直角三角形的边。答 案 ： 设 AD x。AD 是BAC 的平分线，BAC120，1260。S ACD S ADB S ABC ，作 DH1AB 于 H1，DH 2AC 于 H2，BH 3CA，交 CA 延长线于H3，则 DH1DH 2ADsin60 xsin60，BH 33sin60。 5xsin60 3xsin60 53sin60。12 12 12解得 x ，所以角平分线 AD 的长为 。158
6、1583ABCD3512H23点拨：求钝角或锐角三角形中的边角时，常常作出垂直，构造直角三角形，得到边角之间的关系。（答题时间：）一、选择题1. ABC 中， a、 b、 c 分别是A、B、C 的对边，如果 a2 b2 c2，那么下列结论正确的是（ ）A. csinA a B. bcosB c C. atanA b D. ctanB b*2. 如图，四边形 ABCD 中，BADADC90，ABAD2 ，CD ，点 P 在四2 2边形 ABCD 上，若 P 到 BD 的距离为 ，则点 P 的个数为（ ）32A. 1 B. 2 C. 3 D. 4*3. 如图，在 RtABO 中，斜边 AB1。若
7、OCBA，AOC36，则（ ）A. 点 B 到 AO 的距离为 sin54 B. 点 B 到 AO 的距离为 tan36C. 点 A 到 OC 的距离为 sin36sin54 D. 点 A 到 OC 的距离为 cos36sin54*4. 在矩形 ABCD 中，有一个菱形 BFDE（点 E、F 分别在线段 AB、CD 上），记它们的面积分别为 SABCD和 SBFDE，现给出下列命题：若 ，则 tan EDF ； 若SABCDSBFDE 2 32 33DE2BDEF，则 DF2AD。则（ ）A. 是真命题，是真命题 B. 是真命题，是假命题C. 是假命题，是真命题 D. 是假命题，是假命题ABC
8、DF4二、填空题5. 在ABC 中，ABAC5，sinABC0.8，则 BC_。ABC*6. 如图，在菱形 ABCD 中，DEAB 于点 E，cosA ，BE4，则 tanDBE 的值是35_。*7. 在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于点 E，垂足为D，连接 BE。已知 AE5，tanAED ，则 BECE_。34*8. 如图所示，在ABC 中，A30，ABAC2，BD 是边 AC 上的高，利用此图可求得 tan15_，BC_。ABCD30三、解答题9. 如图，在 RtABC 中，C90，AB10，sinA ，求 BC 的长和 tanB 的值。2510
9、. 如图，在ABC 中，ADBC 于点 D，AB8，ABD30，CAD45，求 BC 的长。*11. 如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是边 AB 的中点，BECD，垂足为点 E。己知 AC15，cosA 。355（1）求线段 CD 的长；（2）求 sin DBE 的值。*12. 如图，已知ABC 是O 的内接三角形，ABAC，点 P 是 的中点，连接 ABPA、PB、PC。（1）如图，若BPC60，求证：AC AP；3（2）如图，若 sinBPC ，求 tanPAB 的值。242561. A 解析： a2 b2 c2，ABC 是直角三角形，且C90。sinA ，则accsinA a，
10、故选项 A 正确；cosB ，则 ccosB a，故选项 B 错误；tanA ，则ac ab b，故选项 C 错误；tanB ，则 atanB b，故选项 D 错误。atanA ba2. B 解析： 过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于 F，BADADC90，ABAD2 ， CD ，ABDADB45，CDF90ADB45，2 2sinABD ，AEABsinABD2 sin452 2 ，所以在 AB 和 ADAEAB 2 2 22 32边上有符合 P 到 BD 的距离为 的点 2 个；32sinCDF ，CFCDsinCDF 1 ，所以在边 BC 和 CD 上没有到 BD
11、 的CFCD 2 22 32距离为 的点。总之，P 到 BD 的距离为 的点有 2 个。32 323. C 解析： 点 B 到 AO 的距离是指 BO 的长，ABOC，BAOAOC36，在RtBOA 中，BOA90，AB1，sin36 ，BOABsin36sin36，故选项BOABA 错误；由以上可知，选项 B 错误；过 A 作 ADOC 于 D，则 AD 的长是点 A 到 OC 的距离，BAO36，AOB90，ABO54，sin36 ，ADAOsin36，ADAOsin54 ，AOABsin54，又AB1，ADABsin54sin36AOAB1sin54sin36sin54sin36，故选项
12、 C正确；由以上可知，选项 D 错误，故选 C。4. A 解析： 设 CF x， DF y，BC h，则由已知菱形 BFDE 得，BFDF y，由已知得： ，化简得： ，即在BFC 中，（ x y） hyh 2 32 xy 32cosBFC ，BFC30。由已知得EDF30，tanEDF ，所以CFBF xy 32 33是真命题。已知菱形 BFDE，DFDE，S DEF DFAD BDEF，又 DE2BDEF（已知）12 14，S DEF DE2 DF2，DFAD DF2，DF2AD，所以是真命题。故选：A。14 14 125. 6 解析：过点 A 作 ADBC 于 D，ABAC，BDCD，在
13、 RtABD 中，7sinABC 0.8，AD50.84，则ADABBD 3，BCBDCD336。AB2 AD2 ABCD6. 2 解析： 四边形 ABCD 是菱形，AD AB，cosA ，BE4，DEAB，设35ADAB5 x，AE3 x，则 5x3 x4， x2，即 AD10，AE6，在 RtADE 中，由勾股定理得：DE 8，在 RtBDE 中，tanDBE 2。102 62DEBE 847. 6 或 16 解析：若BAC 为锐角，如答图 1 所示：AB 的垂直平分线是DE，AEBE，EDAB，AD AB，AE5，tanAED ，sinAED ，ADAEsi12 34 35nAED3，A
14、B6，BECEAECEACAB6；若BAC 为钝角，如答图 2 所示：同理可求得：BECE16。故答案为：6 或 16。8. ； 解析：在ABD 中，BDABsinA2sin302321，ADABcosA2cos30 。所以 CDACADABAD2 ，所以3 3tanCBD 2 ，CBDABCABD756015，即 tan15CDBD 32 。BC 2BD 2CD 284 （ ） 2，所以 BC 。3 3 6 2 6 29. 解：在 RtABC 中，C90，AB10，sinA ，BC4，根据勾股定BCAB BC10 25理得：AC 2 ，则 tanB 。AB2 BC2 21ACBC 2 214
15、 21210. 解：ADBC 于点 D，ADBADC90。在 RtABD 中，AB8，ABD30，ADABsinABD AB4，BDABcosABD AB4 。在12 32 38RtADC 中，CAD45，ADC90，DCAD4，BCBDDC4 4。311. 解：（1）在 RtABC 中，cosA ，AC15，AB 15 25。又点ACAB ACcosA 53D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，CD AB ；（2）点 D 是 AB 的中点，ACD、12 252BCD 都是等腰三角形，ADCACD，BCDCBD。ADCBDE90DBE，ACD90BCD90CBD，DBECBD。sinDBEs
16、inCBD = 。ACAB1525 3512. 解：（ 1）BPC60，BAC60，ABAC，ABC 为等边三角形，ACBABC60，APCABC60，而点 P 是 的中点， ABACP ACB30，PAC90，tanPCA tan3012 PAAC ，AC PA；（2）过 A 点作 ADBC 交 BC 于 D，连接 OP 交 AB 于 E，如图，33 3ABAC，AD 平分 BC，点 O 在 AD 上，连接 OB，则BODBAC，BPCBAC，sinBODsinBPC ，设 OB25 x，则2425 BDOBBD24 x，OD 7 x，在 RtABD 中，AD25 x7 x32 x，BD24 x，ABOB2 BD240 x，点 P 是 的中点，OP 垂直平分AD2+BD2 ABAB，AE AB20 x，AEPAEO90，在 RtAEO 中，12OE 15 x，PEOPOE25 x15 x10 x，在 RtAPE 中，tanPAE AO2 AE2PEAE ，即 tanPAB 的值为 。10x20x 12 12
