1、1相似中的“射影定理”1. 射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（ Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图， Rt ABC 中， BAC90， AD 是斜边 BC 上的高，则有射影定理如下：（1） （2） （3）2ADBC2ABDC2ACDBABCABDDAC注意：（1）在 Rt ABC 中，A D 为斜边 BC 上的高，图中共有 6 条线段：AC、 BC、 CD、 AD、 DB、 AB，已知任意两条，便可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可求第三条；（
2、3）平方项一定是两相似三角形的公共边。2. 定理推论在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点，且满足 ，则有 。BADC2ABDCABDCBA例题 1 已知 CD 是 ABC 的高， DE CA， DF CB，求证： CEF CBA。解析：根据 CDE CAD 和 CDB CFD 得 和 利用2CDEA2CFB等量代换和变形，即可证明 CEF CBA。2答案：证明：在 Rt ADC 中，由射影定律得， ，2CDEA在 Rt BCD 中， 2CDFB EA B F CEF CBA点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。例题 2
3、 已知：如图， AB 为 O 的直径， AC 为弦， CD AB 于 D。若 AE AC， BE 交 O于点 F，连接 CF、 DE。求证：（1） （2）2AEDBACFE解 析 ： （1）根据 AE AC，可以把结论转化为证明 ，只需连接 BC，2ACDB证明 ACD ABC 即可。 （2）根据（1）中的结论，即可证明三角形 ADE 相似于三角形AEB，得到 AED B，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。答 案 ： （ 1） 连 接 BC， AB 为 O 的 直 径 ， ACB 90 CD AB， ACD ABC， AC AE， 2（ 2） ， EAD BAE， ADE AEB，3 AED
4、 B ACF B， ACF AED点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。【要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。例题 如图，在 Rt ABC 中， CD， CE 分别是斜边 AB 上的高和中线，BC a， AC b（ b a） ，若 ，求 的值。13tnDCEab解 析 ： 在 Rt ABC 中，利用射影定理得到 ，进而得到 BD 的表达式，2BCDA由面积法可求出 CD 的长，根据 C
5、E 为中线，建立关系式 DE BE BD，再根据正切函数的定义，建立关于 a、 b 的关系式。答 案 ： 在 Rt ABC 中， ACB90， CD AB ，2B即： 。由等面积法知： ，22BCDA1ab。2ab又因为 CE 是中线，则 。2221baEBDab在 Rt CDE 中， ， 得： ，13tanC23ab2230ab解得 ，于是有 或 （舍负值） 。103b010点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直 角三角形，综合性较强，要认真对待。4（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 在 Rt ABC 中， C90， CD AB，垂足为点 D，若 AD： BD9：4，则 AC： BC
6、的值为（ ） A. 9：4 B. 3：2 C. 4：9 D. 2：3 *2. 在 Rt ABC 中， BAC90， AD BC 于点 D，若 ，则 （ ）ACBA. B. C. D. 341616*3. 已知：在 ABC 中， BAC90 ， AD BC 于 D， M 为 BC 中点。下列关系式中正确的是（ ）A. B. 2ACBDMC2ABCAC. D. *4. 若正实数 x， y， z 满足 ， 。则下列关系式中正2xyz22xr确的是（ ）A. B. C. D. 无法确定yzrrr二、填空题*5. 如图，ABC 中 ，点 D 在 BC 上，以 为直径作 O， 恰过 A 点，若ABC8BA
7、C 与 O 相切，则 AB 的长为 。*6. 如图，矩形 ABCD 中， ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 ，56ABC16ECB， FG AE 于 G，则 AG： GE 。35FCD*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为 a， b 的正方形拼成一个大正方形。图中 Rt ABC 的斜边 AB 的长等于 （用a， b 的代数式表示） 。5*8. Rt ABC 中， BAC90， AD 是斜边 BC 上的高，则 三者之间的22,ABCD等量关系式为 。三、解答题*9. 如图， AB 为 O 的直径， C为 O 上一点， CD AB 于
8、点 D，交 AE 于点 G，弦 CE 交 AB于点 F，求证： 。2AGE*10. （沈阳模拟）已知 Rt ABC 中， BAC90， AD BC，垂足为 D， DF AC，垂足为 F， DE AB，垂足为 E。求证：（） ABCD（） 3F*11. 已知：如图， BD、 CE 是 ABC 的高， DG BC 与 CE 交于 F， GD 的延长线与 BA 的延长线交于点 H。求证： 。2GDFH*12. （莆田） （1）如图 1，在 Rt ABC 中， ABC90， BD AC 于点 D。求证：6；2ABDC（2）如图 2，在 Rt ABC 中， ABC90，点 D 为 BC 边上的点， BE
9、 AD 于点 E，延长 BE 交 AC 于点 F。 ，求 的值；1ABAFC（3）在 Rt ABC 中， ABC90，点 D 为直线 BC 上的动点（点 D 不与 B、 C 重合） ，直线 BE AD 于点 E，交直线 AC 于点 F。若 ，请探究并直接写出 的所有BnAF可能的值（用含 n 的式子表示） ，不必证明。71. B 解析：由射影定理得 ，又 ，2CDAB:9:4D ， ，故选 B。:9:46AD:32C2. C 解析：由勾股定理得： 45 ，可得：ABCDBADAC ，22，选 C。2241639BADC3. A 解析：由 BAC90， AD BC， ABC DBA DAC，可得
10、 ， 。2B2ADB又 M 为 BC 中点，可得 ，12M 2 2ACCBMDBC。4. B 解析：如图，由条件 可构造 Rt ABC，22zyx由条件 联想到射影定理，作斜边 z 上的高 r，2zxr由三角形的面积可得： ，即 。1rxr2rxzxy rBACD5. 解析：连接 AD，作 于 H 点，43BC设 ， ， ABCxDy由CADCBA得： 28y由射影定理得： ，故 ，2BH28ABxD又知 H 为 BC 中点，故 ，即 C284y8由、解得： 。43x6. 41 解析：矩形 ABCD 中， ，点 E 在 BC 上，点 F 在 CD 上，且 ，56ABC16ECB， FG AE
11、于 G， ， ， ， ，35FCD2DF2DCADF又 ECF FDA， CEF DFA， ， AFD FEC， AFD CFE FEC CFE90， AFE90又 FG AE， AFE AGF， AFG FEG， ，则 AG2 FG， 2， ，AFEGEGFAFG21 AG4 EG， AG： GE4：1。 7. 解析： Rt ABC 的边 BC 在斜边 AB 上的射影为 a，由 BC2 aAB 可得2ab。BA8. 2211DAC解析：由射影定理可得： ， ， ；2DBC2ABDC2ABC ，21,B化简可得 。21A9. 证明：延长 CG，交 O 于点 M， AB CM， ， ACG EA
12、CM又 CAG EAC CAG EAC GE2A10. 证明：（）因为 Rt ABC 中， BAC90， AD BC。显然 ABD CBA ，即ABCDADBC（）由射影定理知 2E又由三角形相似可知 ，且 DF AE,F ，结合射影定理 AEB 3C11. 证明： BD AC， DG BC， DGC DGB90， CDB90，由射影定理得： CGD DGB， ，2DGBC9 CE AB， ECB CBE90，又 H GBH90， ECB H， FGC HGB90， CGF HGB， ，GFCB F2D12. （1）证明：如图， BD AC， ABC90， ADB ABC，又 A A， ADB
13、 ABC， ， 。AB2ADC（2）解：方法一：如图，过点 C 作 CG AD 交 AD 的延长线于点 G， BE AD， CGD BED90，CG BF。 ， AB BC2 BD2 DC， BD DC，1ABD又 BDE CDG， BDE CDG，12ED由（1）可得： ， ，2AE2BA ， AE4 DE， 。AEBD4G CG BF， 。2FCG方法二：如图，过点 D 作 DG BF，交 AC 于点 G， ， ， AB BC。1AB12BC DG BF， ， FC2 FG。FC由（1）可得： ， ，2AEDEA ，4AEBD DG BF， ， 。FG2FCG10（3）解：点 D 为直线
14、BC 上的动点（点 D 不与 B、 C 重合） ，有三种情况：（ I）当点 D 在线段 BC 上时，如图所示：过点 D 作 DG BF，交 AC 边于点 G。 ，ABnC11BnAnDC， ， DG BF， ，FFCF，由（1）可得： ， ，2AED2E ；2211nAEnDBC DG BF， ，即 ，化简得：2FGE21AFnC；2AFnC（）当点 D 在线 段 BC 的延长线上时，如图所示：过点 D 作 DG BE，交 AC 边的延长线于点 G。同理可求得： ；2AFnC（）当点 D 在线段 CB 的延长线上时，如图所示：过点 D 作 DG BF，交 CA 边的延长线于点 G。同理可求得： 。2
