1、1建立适当的坐标系解决实际问题一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤1. 恰当地建立直角坐标系；2. 将已知条件转化为点的坐标；3. 合理地设出所求函数关系式；4. 代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5. 利用关系式求解问题。方法归纳：（1）恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键；（2）将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；（3）设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种；（4）求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。总结：1. 能分析实际问题中数量关系，建立二次函数模型。2. 能够建立坐标系，确定二次函数关系式，并解决实际问题。例题 1 如图，某校的围墙由
2、一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径 AB 之间按相同间隔 0.2 米用 5 根立柱加固，拱高 OC 为 0.36 米，则立柱 EF 的长为（ ）ABCEFOA. 0.4 米 B. 0.16 米 C. 0.2 米 D. 0.24 米解 析 ： 由于按相同的间距 0.2m 用 5 根立柱加固，则 AB0.261.2，以 C 为坐标系的原点，OC 所在直线为 y 轴建立坐标系，由此得到抛物线过 B（0.6，0.36）、C（0，0）、A（0.6，0.36），据此求出其解析式。把 x0.4 代入后求出 y，令 EF=0.36 y 即可。答 案 ： 如图，以 C 为坐标系的原点，
3、OC 所在直线为 y 轴建立坐标系，设抛物线解析式为y ax2，由题意知，图象过 B（0.6，0.36），代入得：0.360.36 a， a1，即 y x2。F 点横坐标为0.4，当 x0.4 时， y0.16，EF0.360.160.2 米。故选 C。2ABCEFOxy点拨：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，建立恰当的坐标系是解题关键。例题 2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图所示，已知球出手时离地面 m，与篮筐中心209的水平距离是 7m，当球运行的水平距离是 4m 时，达到最大高度 4m，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面 3m。
4、 209m3m344mABC求：（1）问此球能否投中？（2）此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为 3.19m，他如何做才可能盖帽成功？解 析 ： （ 1） 先 建 立 恰 当 的 平 面 直 角 坐 标 系 ， 求 出 篮 球 运 行 的 抛 物 线 的 关 系 式 ， 再 利 用 函 数 关系 式 计 算 一 下 球 运 行 至 篮 筐 正 上 方 时 ， 高 度 是 否 为 3m， 是 ， 则 投 中 ， 否 ， 则 不 中 。 （ 2） 由 篮 球 比赛 规 则 可 知 ， 对 方 球 员 乙 盖 帽 必 须 在 球 上 升 的 过 程 中 封 盖 ， 也 就 是 在 A
5、B 之 间 当 球 的 飞 行 高 度 不超 过 3.19m 时 可 能 封 盖 成 功 ， 这 里 涉 及 球 员 乙 的 起 跳 位 置 问 题 。答 案 ： （ 1） 以 地 面 为 x 轴 ， 起 跳 点 为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 。3ABCOxy由 题 意 知 ， 抛 物 线 顶 点 坐 标 为 （ 4， 4） ， 经 过 （ 0， ） 。209设 抛 物 线 的 关 系 式 为 y a（ x 4） 2 4，把 x 0， y 代 入 ， 得 a（ 0 4） 2 4，209 209 a 。19 y （ x 4） 2 4， 即 y x2 x 。1
6、9 19 89 209当 x 7 时 ， y （ 7 4） 2 4 3，19而 篮 筐 中 心 距 地 面 刚 好 是 3m， 此 球 能 够 投 中 。（ 2） 当 y 3.19 时 ， （ x 4） 2 4 3.19， 解 得 x1 1.3， x2 6.7。19由 于 篮 球 比 赛 规 则 规 定 盖 帽 必 须 在 球 上 升 过 程 中 ，当 x 1.3 时 上 升 ， 当 x 6.7 时 下 降 。所 以 ， 球 员 乙 必 须 在 球 员 甲 前 1.3m 之 内 跳 起 封 盖 才 可 能 成 功 。点拨：本例通过建立平面直角坐标系求出二次函数的关系式，再利用二次函数的有关性质
7、来解决实际问题，将实际问题转化为数学模型是关键，而利用数学知识去解决实际问题时还要注意符合实际意义。有些实际问题中并没有明确给出它符合哪一种函数，这时应根据题目提供的数据画出图象，根据图象判断函数的种类。若所给数据符合二次函数特征，可选取三组数据（即三点）求出二次函数的关系，但必须将其他点代入验证，这一步不可少，只有验证无误后方可 认定是二次函数，以防错误判断。例 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距4离称为“刹车距离” 。为了测定某型号汽车的刹车性能（车速不能超过 140km/h） ，对这种汽车进行测试，测得数据如下：刹车时车速（ km/h） 0 1
8、0 20 30 40 50 60刹车距离（ m） 0 0.3 1.0 2.1 3.6 5.5 7.8（1）以车速为 x 轴，以刹车距离为 y 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线联结这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计函数的类型；（3）如果该函数解析式为 y0.002 x20.01 x，若该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 46.5m，请推测刹车时的速度，在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：（1）描点，画图如下： 12345678O045067y()x(km/h)（2）依据图象，设抛物线的关系式为 y ax2 bx c，将表中前三对数
9、据代入，得，解得 。c 0100a 10b c 0.3400a 20b c 1.0) a 0.002b 0.01c 0 )所以函数关系 式为 y0.002 x20.01 x（0 x140） 。经检验，表中其他各组数据也符合此关系式。（3）当 y46.5 时，0.002 x20. 01x46.5，解此方程，得 x1150， x2155（舍去） 。所以推测刹车的速度是 150km/h，因为 150140，所以事故发生时，汽车超速行驶。解析：解答这类问题时应将表中每一组数据作为点的坐标，在坐标系内描出这些点，画出图象，注意隐含条件。再根据所画的图象，判断出 y 是 x 的什么函数，然后用待定系数法求
10、函数关系式。5一、选择题1. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度 y（ m）与水平距离 x（ m）之间的关系为 y （ x 4） 2 3， 由此可知铅球推出的距离是（ ）112A. 3m B. 6m C. 10m D. 12m2. 某公园草坪的防护栏是由 150 段形状相同的抛物线组成的。为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m（如图） ，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A. 240m B. 200m C. 160m D. 150m3. 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，关于 y 轴对称。AB
11、x 轴，AB4 cm，最低点 C 在 x 轴上，高 CH1 cm， BD2 cm。则右轮廓线 DFE 所在抛物线的函数解析式为（ ）A. y （ x3） 2 B. y （ x3） 214 14C. y （ x3） 2 D. y （ x3） 214 14*4. 如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是 1m，拱桥的跨度为 10m，桥洞与水面的最大距离是 5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面 4m的景观灯。若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ）6A. 3m B. 4m C. 5m D. 6m*5. 为了备战世界杯，中国足
12、球队在某次训练中，一队员在距离球门 12m 处的挑射正好射中了2.4m 高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线 y ax2 bx c（如图所示）则下列结论： a ， a0， a b c0，0 b24 a，其中正确的 结论是（ ）160 160A. B. C. D. *6. 一块边缘呈抛物线形的铁片如图放置，测得 AB20 cm，抛物线的顶点到 AB 边的距离为25cm。现要沿 AB 边向上依次截取宽度均为 4cm 的矩形铁皮，如图所示。已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是（ ）A. 第七块 B. 第六块 C. 第五块 D. 第四块二、填空题7. 2013 年 5 月 26 日，中
13、国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业。比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图） 。若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离 x（米）之间满足关系 y x2 x ， 则羽毛球飞出的水平距离为29891097_米。8. 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是 8 层高，房子的价格 y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（ x1，2，3，4，5，6，7，8） ；已知点（ x， y）都在一个二次函数的图象上（如图所示） ，则 6 楼房子的价格为_元/平方米。*9. 如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A、B 两点，桥拱最高
14、点 C 到 AB 的距离为 9m，AB36 m，D、E 为桥拱底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB的距离为 7m，则 DE 的长为_ m。*10. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为 P，羽毛球飞行的水平距离 s（米）与其距地面高度 h（米）之间的关系式为 h s2 s 。 如图，已知球网 AB 距1122332原点 5 米，乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为 米 ， 设乙的起跳点 C 的横坐标为 m，若乙原地94起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m 的取值范围是_。三、解答题8*11. 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN4
15、 分米，抛物线顶点处到边 MN 的距离是 4分米，要在铁皮上截下一矩形 ABCD，使矩形顶点 B、C 落在边 MN 上，A、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于 8 分米？*12. 如图，人 工喷泉有一个竖直的喷水枪 AB，喷水口 A 距地面 2 米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求水流的最高点 P 到喷水枪 AB 所在直线的距离为 1 米，且水流着地点 C 距离水枪底部 B 的距离为 米，那么水流的最高点距离地面是多少米？52*13. 实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈。图（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载，此拱圈高 AB 为 10
16、.0m（含拱圈厚度和拉杆长度） ，横向分跨 CD 为 40.0m。（1）试在示意图（图（2） ）中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面 M（BC 的中点）处装有一盏路灯（P 点） ，为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN 不得少于 1.1m，试求路灯支柱 PM 的最低高度。 （结果精确到 0.1m）*14. 如图，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形 ABCD 的三边 DA、AB、BC 围成，隧道最大高度为 4.9 米，AB10 米，BC2.4 米，若有一辆高为 4 米、宽为 2 米的集装箱的汽车要通过隧道，为了使箱顶不碰到隧道顶部，又不违反交通规则（汽车应靠道
17、路右侧行驶，不能超过道路中线） ，汽车的右侧必须离开隧道右壁几米？*15. 如图所示，足球场守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出（A 在 y 轴上） ，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己正上方达到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最9大高度的一半。 xyOCDMNAB124（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点 C 距守门员多少米？（取 4 7）3（3）运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米？（取 2 5）610一
18、、选择题1. C 解析：令函数式 y （ x4） 23 中， y0，0 （ x4） 23，解得112 112x110， x22（舍去） ，即铅球推出的距离是 10m。2. A 解析：建立平面直角坐标系，可设抛物线解析式为 y ax20.5，（1，0）在抛物线上， a0.50，解得 a0.5， y0.5 x20.5，当 x0.2 时 y0.48，当 x0.6 时y0.32，一段防护栏需要不锈钢支柱的总长2（0.480.32）1.6 米，所需不锈钢管的总长度为：1.6150240 米。故选 A。3. C 解析：高 CH1 cm，BD2 cm，而 B、D 关于 y 轴对称，D 点坐标为（1，1），A
19、B x 轴，AB4 cm，最低点 C 在 x 轴上，AB 关于直线 CH 对称，左边抛物线的顶点 C 的坐标为 （3，0），右边抛物线的顶点 F 的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为y a（ x3） 2，把 D（1，1）代入得 1 a（13） 2，解得 a ，故右边抛物线的解析式为14y （ x3） 2。故选 C。14*4. C 解析：抛物线的顶点坐标为（5，5） ，且经过点（0，1） ，设抛物线解析式为y a（ x5） 25，把点（0，1）代入得：1 a（05） 25，即 a ，抛物线解析式为425y （ x5） 25。令 y4，得 x1 ， x2 ，盏景观灯之间的水平距离是 5 m。
20、425 152 52 152 52*5. B 解析：由抛物线的开口向下知 a0，对称轴为 x 0， a、 b 异号，即 b0。b2a与 y 轴的交点坐标为（0，2.4）， c2.4，把点（12，0）代入解析式，得：144a12 b2.40。144 a2.412 b，12 b2.4144 a，由以上两式分别可得144a2.4，12 b144 a， a ， b12 a，2 b24 a，则 b24 a，正确，160错误。此题是实际问题， x 不能取1， a b c0 错误。故选 B。*6. B 解：如图，建立平面直角坐标系。 AB20 cm，抛物线 的顶点到 AB 边的距离为25cm，此抛物线的顶点
21、坐标为（10，25），图象与 x 轴的交点坐标为：（0，0），（20，0），抛物线的解析式为： y a（ x10） 225，解得：0100 a25， a ， y （ x10）14 14225，现要沿 AB 边向上依次截取宽度均为 4cm 的矩形铁皮，截得的铁皮中有一块是正方形时，正方形边长一定是 4cm。当四边形 DEFM 是正方形时，DEEFMFDM4 cm，M 点的横坐标为ANMK1028，即 x8，代入 y （ x10） 225，解得：1411y24，KN24，2446，这块正方形铁皮是第六块，故选 B。二、填空题7. 5 解析：当 y0 时，0 x2 x ，解得： x11（舍） ， x
22、25，故羽毛球飞出的水29 89 109平距离为 5m。8. 2080 解析：由图可知此二次函数图象的顶点是（4，2200） ，设其表达式为 y a（ x4）22200，又因为它过点（2，2080） ，所以 2080 a（24） 22200，解得 a30，即y30（ x4） 22200，当 x6 时， y30（64） 222002080（元/平方米） 。或利用抛物线的对称性，观察图象可知当 x6 时与 x2 时的函数值 y 相等，即 6 楼的价格也是 2080 元/平方米。*9. 48 解析：以 C 为原点建立平面直角坐标 系，依题意，得 B（18，9） ，设抛物线为：y ax2，将 B 点坐
23、标代入，得 a ，所以抛物线为 y x2，E 点到 x 轴距离为 9716（米）136 136，所以 E 点纵坐标为 y16，代入得16 x2，解得 x24，所以 DE 的长为 48m。136*10. 5 m4 解析：先求乙恰好扣中的情况，当 h 时， m2 m ，解方程得：794 112 23 32 94m14 ， m24 ，但扣球点必须在球网右边，即 m5， m24 （舍去） ，由于乙原地7 7 7起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，5 m（4 ） 。7三、解答题*11. 解：以 MN 为 x 轴，MN 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 M（2，0） 、12N（
24、2，0） ，该抛物线顶点坐标为（0，4） ，所以其解析式可设为 y ax24，将 M 的坐标代入得04 a4，所以 a1，即 y x24。设点 A 的坐标为（ m， n） ，则 n m24，若矩形铁皮的周长为 8 分米，则 2（ m24）4 m8，解得 m10， m22，均不符合题意，舍去。所以不能截下周长为 8 分米的矩形。*12. 解：要想求出水流最高点距地面高度，可以先以 B 为原点，地面为 x 轴建立直角坐标系，由题目 可知水流抛物线过点 A（0，2） 、C（ ， 0） ， 因 为 点 P 的 横 坐 标 是 1， 由 抛 物 线 的 对 称52性 知 它 与 x 轴 的 另 一 交
25、点 为 （ ， 0） ， 根据这三个点求出抛物线解析式为12y x2 x 2。 当 x 1 时 y 3.6， 即 最高点 P 的坐标为（1，3.6） ，所以水流的最高点85165距离地面是 3.6 米。*13. 解：（1）如图，以 A 为坐标原点，BA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系 xAy，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以 y 轴为对称轴，故可设抛物线解析式为： y ax2，由题意知抛物线过点D（20，10） ，代入得： a ， 故拱圈外沿抛物线的解析式为 y x2。 （2）设140 140N（10， k） ，则 k （ 10） 2 2.5，MN10 k7.5（ m） ，140PMMNP
26、N7.51.18.6（ m） 。即路灯支柱 PM 的最低高度为 8.6 米。*14. 解：如下图，以 CD 为 x 轴，CD 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，OM4.92.42.5 米，则 C（5，0） 、D（5，0） 、M（0，2.5） ，设该抛物线的解析式为y ax22.5，则 25a2.50，解得 a0.1，所以 y0.1 x22.5，当 y42.41.6 时，0.1 x22.51.6，解得 x3，则 BH532 米。所以汽车右侧必须 离开隧道右壁 2 米以上且不能超过 3 米。 xyEFCDABHGO*15. 解：（1）设第一次落地前抛物线为 y a（ x6） 24。其过点
27、A（0，1） ， a（06） 241， a 。抛物线表达式为 y1 （ x6） 24 x2 x1。 （2）112 112 11213当 y10 时，有 （ x6） 240，解得 x4 613（米） （取正根） 。即第一次落地点 C112 3到守门员的距离为 13 米。 （3）由（2）得 C 点（13，0） ，设抛物线 CND 的表达式为y2 （ x k） 22，当 x13， y20 时，有 （13 k） 220，解得112 112k132 18（米） （取正根） ，有 y2 （ x18） 22。对此当 y20 时，6112 （ x18） 220，解得 x182 23（米） （取正根） ，BDODOB23617（米） 。112 6所以运动员乙应再向前跑 17 米。
