1、1第 8 讲 解三角形应用举例1某人向正东方向走 x km 后，顺时针转 150，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好 km，则 x( )3A. B2 3 3C2 或 D33 32两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东20的方向，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40的方向，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )A a km B. a km C2 a km D. a km2 33如图 X381，一艘海轮从 A 处出发，以 40 海里/时的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 分钟后到达 B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处
2、观察灯塔，其方向是南偏东70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B， C 两点间的距离是( )图 X381A10 海里 B10 海里 C20 海里 D20 海里2 3 2 34(2014 年四川)如图 X382，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B， C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92， cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80， 1.73)3图 X3825(2016 年河南信阳模拟)某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45距离为 10 海
3、里的C 处，该渔船沿北偏东 105方向，以每小时 9 海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速 21 海里，则舰艇到达渔船的最短时间是_分钟6(2017 年浙江)已知 ABC， AB AC4， BC2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD2，连接 CD，则 BDC 的面积是_，cos BDC_.7(2016 年上海)已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_8(2017 年广东揭阳一模)如图 X383，在 ABC 中， B ， AC1，点 D 在边 AB 6上，且 DA DC， BD1，则 DCA_.图 X3839(2017 年新课标) ABC 的内角 A， B， C 的
4、对边分别为 a， b， c.已知 sin 2A cos A0， a2 ， b2.3 7(1)求 c；(2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，求 ABD 的面积10(2017 年广东广州一模)如图 X384，在 ABC 中， 点 P 在 BC 边上， PAC60， PC2， AP AC4.(1)求 ACP；(2)若 APB 的面积是 ， 求 sin BAP.3 32图 X3843第 8 讲 解三角形应用举例1C 解析：如图 D105，在 ABC 中， AC ， BC3， ABC30.由余弦定理，得3AC2 AB2 BC22 ABBCcos ABC.3 x296 xcos 30，解得 x
5、 或 2 .3 3图 D105 图 D1062D 解析：如图 D106，依题意，得 ACB120.由余弦定理，得AB2 AC2 BC22 ACBCcos 120 a2 a22 a2 3 a2， AB a km.故选 D.(12) 33A 解析：在 ABC 中， BAC502030， ABC4065105，AB400.520(海里)，则 ACB45.由正弦定理，得 .解得BCsin 30 20sin 45BC10 (海里)故选 A.2460 解析：根据已知的图形可得 AB .在 ABC 中， BCA30，46sin 67 BAC37，由正弦定理，得 .所以 BC2 0.6060(m)ABsin
6、30 BCsin 37 460.92540 解析：设两船在 B 处碰头，设舰艇到达渔船的最短时间是 x 小时，则AC10， AB21 x， BC9 x， ACB120，由余弦定理，知(21 x)2100(9 x)22109 xcos 120，整理，得 36x29 x100. 解得 x 或 x (舍)故舰艇23 512到达渔船的最短时间是 40 分钟6. 解析：取 BC 中点 E， DC 中点 F，连接 AE， BF.由题意知 AE BC， BF CD.在152 104 ABE 中，cos ABC ，cos DBC ，sin DBC . SBEAB 14 14 1 116 154BDC BDBC
7、sin DBC .cos DBC12sin 2 DBF .sin DBF . 12 152 14 104cos BDCsin DBF .综上所述， BDC 的面积为 ，cos BDC .104 152 1047. 解析：利用余弦定理可求得最大边 7 所对应角的余弦值为7 33 ，所以此角的正弦值为 .设外接圆半径为 R，则 2R .所以 R .32 52 72235 12 32 732 7 338. 或 解析：方法一，设 A ACD ，0 ，则 ADC2 ，又 3 9 2AC1，由正弦定理，得 CD .在 BDC 中，由正弦定理，得ACsin 2 CDsin 12cos 4 cos sin s
8、in sinCDsin B BDsin BCD12cos sin 61sin(56 2 ) (56 2 ) ( 2 )，由 0 0 ， 2 ，得 2 或(56 2 ) 2 2 2 656 56 2 56 2 或 . 2 56 3 9Error!Error!方法二，过点 C 作 CE AB 于点 E，设 A ACD ，则 CDB2 .在 Rt AEC 中，CEsin .在 Rt CED 中， DE .CEtan 2 sin tan 2在 Rt CEB 中， BE sin .CEtan 6 3由 BD1，得 sin 1sin cos 2 sin sin 2 sin sin tan 2 3 32 c
9、os 2 sin 2 2cos cos cos 2 或3 (2 3) 3 3. 99解：(1)由 sin A cos A0，得 tan A .3 3所以 A .23在 ABC 中，由余弦定理，得284 c24 ccos ，即 c22 c240.23解得 c6 (舍去)， c4.(2)由题设可得 CAD . 2所以 BAD BAC CAD . 6所以 1.S ABDS ACD12ABADsin 612ACAD又 ABC 的面积为 42sin BAC2 ，12 3所以 ABD 的面积为 .310解：(1)在 APC 中， 因为 PAC60， PC2， AP AC4，由余弦定理，得 PC2 AP2
10、AC22 APACcos PAC.所以 22 AP2(4 AP)22 AP(4 AP)cos 60.整理，得 AP24 AP40.解得 AP2.所以 AC2.所以 APC 是等边三角形所以 ACP60.(2)方法一，由于 APB 是 APC 的外角，所以 APB120.5因为 APB 的面积是 ， 3 32所以 APPBsin APB .12 3 32所以 PB3.在 APB 中， AB2 AP2 PB22 APPBcos APB2 23 2223cos 12019, 所以 AB .19在 APB 中， 由正弦定理，得 .ABsin APB PBsin BAP所以 sin BAP .3sin 12019 35738方法二，如图 D107，作 AD BC, 垂足为点 D.图 D107因为 APC 是边长为 2 的等边三角形， 所以 PD1， AD ， PAD30.3因为 APB 的面积是 ， 所以 ADPB .3 32 12 3 32所以 PB3.所以 BD4.在 Rt ADB 中， AB ，BD2 AD2 19所以 sin BAD ， cos BAD .BDAB 419 ADAB 319所以 sin BAPsin( BAD30)sin BADcos 30cos BADsin 30 419 32 319 12 .35738
