1、1第 3讲 圆的方程1(2016 年新课标)圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为1，则 a( )A B C. D243 34 32若实数 x， y满足 x2 y24 x2 y40，则 的最大值是( )x2 y2A. 3 B6 145 5C 3 D6 145 53若直线 ax2 by20( a0， b0)始终平分圆 x2 y24 x2 y80 的周长，则 的最小值为( )1a 2bA1 B5 C4 D32 2 24若方程 x2 y22 x2 my2 m26 m90 表示圆，则 m的取值范围是_；当半径最大时，圆的方程为_5(2015 年新课标)一个圆经过椭圆 1
2、 的三个顶点，且圆心在 x轴的正半轴x216 y24上，则该圆的标准方程为_6(2016 年浙江)已知 aR，方程 a2x2( a2) y24 x8 y5 a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_7(2015 年江苏)在平面直角坐标系 xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx y2 m10( mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_8已知圆心在直线 x2 y0 上的圆 C与 y轴的正半轴相切，圆 C截 x轴所得弦的长为 2 ，则圆 C的标准方程为 _39(2013 年新课标)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 P在 x轴上截得线段长为 2 ，在 y轴上截得线段长为 2 .2 3(1)求
3、圆心 P的轨迹方程；(2)若 P点到直线 y x的距离为 ，求圆 P的方程2210(2014 年新课标)已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y28 y0，过点 P的动直线 l与圆C交于 A， B两点，线段 AB的中点为点 M， O为坐标原点(1)求 M的轨迹方程；(2)当| OP| OM|时，求直线 l的方程及 POM的面积211在平面直角坐标系 xOy中，设二次函数 f(x) x22 x b(xR)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C.(1)求实数 b的取值范围；(2)求圆 C的方程；(3)圆 C是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论3第 3讲 圆的方程1A
4、 解析：由 x2 y22 x8 y130 配方，得( x1) 2( y4) 24，所以圆心坐标为(1,4)，半径 r2.因为圆 x2 y22 x8 y130 的圆心到直线 ax y10 的距离为 1，所以 1.解得 a .故选 A.|a 4 1|a2 12 432A 解析：将 x2 y24 x2 y40 转化为标准方程为( x2) 2( y1) 23 2，的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即 3 3.故选 A.x2 y2 2 2 12 53D 解析：由题意知圆心 C(2,1)在直线 ax2 by20 上，2 a2 b20.整理，得 a b1. (a b)3 1a 2b (1a 2b) ba
5、 2ab32 32 .ba2ab 2当且仅当 ，即 b2 ， a 1 时，等号成立ba 2ab 2 2 的最小值为 32 .1a 2b 242 m4 ( x1) 2( y3) 21 解析：原方程可化为( x1) 2( y m)2 m26 m8， r2 m26 m8( m2)( m4)0.2 m4，当 m3 时， r最大为 1，此时圆的方程为( x1) 2( y3) 21.5. 2 y2 解析：设圆心为( a,0)，则半径为 4 a.则(4 a)2 a22 2.解得(x32) 254a .故圆的方程为 2 y2 .32 (x 32) 2546(2，4) 5 解析：由题意，得 a2 a2，所以 a
6、1 或 2.当 a1 时方程为 x2 y24 x8 y50，即( x2) 2( y4) 225，圆心为(2，4)，半径为5， a2 时方程为 4x24 y24 x8 y100，即 2( y1) 2 ，不表示圆(x12) 547( x1) 2 y22 解析：直线 mx y2 m10 恒过定点(2，1)，由题意，得半径最大的圆的半径 r .故所求圆的标准方程为( x1) 2 y22. 1 2 2 0 1 2 28( x2) 2( y1) 24 解析：因为圆心在直线 x2 y0 上，所以设圆心为(2a， a)因为圆 C与 y轴的正半轴相切，所以 a0， r2 a.又因为圆 C截 x轴所得弦的长为 2
7、 ，所以 a2( )2(2 a)2，所以 a1.则圆 C的标准方程为( x2) 2( y1) 24.3 39解：(1)设 P(x， y)，圆 P的半径为 r.则 y22 r2， x23 r2. y22 x23，即 y2 x21.圆心 P的轨迹方程为 y2 x21.(2)设 P的坐标为( x0， y0)，则 ，即| x0 y0|1.|x0 y0|2 22 y0 x01，即 y0 x01.当 y0 x01 时，由 y x 1，得( x01) 2 x 1.20 20 20Error! r23.圆 P的方程为 x2( y1) 23.4当 y0 x01 时，由 y x 1，得( x01) 2 x 1.2
8、0 20 20Error! r23.圆 P的方程为 x2( y1) 23.综上所述，圆 P的方程为 x2( y1)23.10解：(1)圆 C的方程可化为 x2( y4) 216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.设 M(x， y)，则 ( x， y4)， (2 x,2 y)CM MP 由题设知 0，CM MP 故 x(2 x)( y4)(2 y)0，即( x1) 2( y3) 22.由于点 P在圆 C的内部，所以 M的轨迹方程是( x1) 2( y3) 22.(2)由(1)知， M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆由于| OP| OM|，故点2O在线段 PM的垂直平分线上又点
9、P在圆 N上，从而 ON PM.因为 ON的斜率为 3，所以直线 l的斜率为 .13故直线 l的方程为 y x ，即 x3 y80.13 83则点 O到直线 l的距离为 d .| 8|12 32 4105又点 N到直线 l的距离为 ，|11 33 8|10 105则| PM|2 .2 (105)2 4105所以 S POM .12 4105 4105 16511解：(1)令 x0，得抛物线与 y轴交点是(0， b)，令 f(x) x22 x b0，由题意 b0，且 0，解得 b1，且 b0.(2)设所求圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0，令 y0，得 x2 Dx F0，且 x2 Dx F0 这与 x22 x b0，是同一个方程，故D2， F b.令 x0，得 y2 Ey b0，此方程有一个根为 b，代入，得出 E b1.所以圆 C的方程为 x2 y22 x( b1) y b0.(3)圆 C必过定点(0,1)和(2,1)证明如下：将(0,1)代入圆 C 的方程，得左边0 21 220( b1)1 b0，右边0.所以圆 C必过定点(0,1)同理可证圆 C必过定点(2,1)
