1、1第 1 课时 距离和高度问题1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点)基础初探教材整理 实际测量中的有关名词、术语阅读教材 P12P 13问题 3，完成下列问题.实际测量中的有关名词、术语名称 定义 图示基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角 坡面与水平面的夹角 为坡角坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比： ihl仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹角判断(正确的打“” ，错误的打“”)(1)
2、一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低.( )(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边.( )2(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.( )(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角.( )(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比.( )(6)坡角的范围是0，.( )【解析】 (1).因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高.(2).因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边.(3).两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得.(4).由坡角的定义可知.(5).因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比.(6).坡角的范围是(0，).【答案】 (1) (2) (3)
3、 (4) (5) (6)小组合作型测量距离问题要测量对岸 A， B 两点之间的距离，选取相距 km 的 C、 D 两点，并测得3 ACB75， BCD45， ADC30， ADB45，求 A， B 之间的距离.【精彩点拨】 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】 如图所示，在 ACD 中， ACD120， CAD ADC30， AC CD km.3在 BCD 中， BCD45， BDC75， CBD60. BC .3sin 75sin 60 6 22在 ABC 中，由余弦定理，得AB2( )2 22 cos 753 (6 22 ) 3 6 2232 5，
4、3 3 AB (km)， A， B 之间的距离为 km.5 53三角形中与距离有关的问题的求解策略：1 解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.2 解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决再练一题1.如图 121，在河岸边有一点 A，河对岸有一点 B，要测量 A， B 两点的距离，先在岸边取基线 AC，测得 AC120 m， BAC45， BCA75，求 A， B 两点间的距离. 【
5、导学号：18082006】图 121【解】 在 ABC 中， AC120， A45， C75，则 B180( A C)60，由正弦定理，得 AB AC 20(3 ).sin Csin B 120sin 75sin 60 2 6即 A， B 两点间的距离为 20(3 )m.2 6测量高度问题(1)如图 122，从山顶望地面上 C， D 两点，测得它们的俯角分别为 45和 30，已知 CD100 米，点 C 位于 BD 上，则山高 AB 等于( )图 122A.100 米 B.50 米3C.50 米 D.50( 1)米2 3(2)在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为 60，塔基的俯角
6、为 45，那么这座塔吊的高是( )A.20 m B.20(1 )m(1 33) 3C.10( )m D.20( )m6 2 6 24【精彩点拨】 (1)解决本题关键是求 AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解.(2)解决本题关键是画出示意图.【自主解答】 (1)设山高为 h，则由题意知CB h， DB h，3所以 h h100，即 h50( 1).3 3(2)如图，由条件知四边形 ABCD 为正方形， AB CD20 m， BC AD20 m.在 DCE 中， EDC60， DCE90， CD20 m， EC CDtan 6020 m. BE BC CE(20 20 ) m.选 B
7、.3 3【答案】 (1)D (2)B解决测量高度问题的一般步骤：1 画图：根据已知条件画出示意图.2 分析三角形：分析与问题有关的三角形.3 求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用再练一题2.某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m).如图 123 所示，竖直放置的标杆BC 的高度 h4 m，仰角 ABE ， ADE .该小组已测得一组 ， 的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，请据此算出 H 的值.图 123【解】 由 AB ， BD ， Htan htan AD 及 AB BD AD，H
8、tan 得 ，Htan htan Htan 解得 Hhtan tan tan 5 124.41.241.24 1.20因此，算出的电视塔的高度 H 是 124 m.探究共研型与立体几何有关的测量高度问题探究 1 已知 A， B 是海平面上的两个点，相距 800m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为45， BAD120，又在 B 点测得 ABD45，其中 D 是点 C 到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.【提示】 用线段 CD 表示山，用 DAB 表示海平面.结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：探究 2 在探究 1 中若要求山高 CD 怎样求解？【提示】 由探究 1 知 CD平面
9、 ABD，首先在 ABD 中利用正弦定理求出 AD 的长，然后在 Rt ACD 中求出 CD.如图 124，为了测量河对岸的塔高 AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 和 D，测得 CD200 米，在 C 点和 D 点测得塔顶 A 的仰角分别是 45和 30，且 CBD30，求塔高 AB.图 124【精彩点拨】 利用方程的思想，设 AB h.表示出 BC h， BD h，然后htan 30 3在 BCD 中利用余弦定理求解.【自主解答】 在 Rt ABC 中， ACB45，若设 AB h，则 BC h.在 Rt ABD 中， ADB30，则 BD h.3在
10、 BCD 中，由余弦定理可得6CD2 BC2 BD22 BCBDcos CBD，即 2002 h2( h)22 h h ，3 332所以 h2200 2，解得 h200( h200 舍去)，即塔高 AB200 米.测量高度问题的两个关注点：1“ 空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.2“ 解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路再练一题3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线
11、及甲、乙两地连线所成的角为 120，甲、乙两地相距 500 m，则电视塔的高度是( )【导学号：18082007】A.100 m B.400 m2C.200 m D.500 m3【解析】 由题意画出示意图，设塔高 AB h m，在 Rt ABC 中，由已知得 BC h m，在 Rt ABD 中，由已知得 BD h m，在 BCD 中，由余3弦定理 BD2 BC2 CD22 BCCDcos BCD，得 3h2 h2500 2 h500，解得 h500(m).【答案】 D1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m 高的旗杆，甲观测的仰角为 50，乙观测的仰角为 40，用 d1， d2分别
12、表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )A.d1d2 B.d120 m D.d2tan 40，所以 d1d2.【答案】 B2.在某个位置测得某山峰仰角为 ，对着山峰在地面上前进 600 m 后测得仰角为2 ，继续在地面上前进 200 m 以后测得山峰的仰角为 4 ，则该山峰的高度为( )3A.200 m B.300 mC.400 m D.100 m3【解析】 法一：如图， BED， BDC 为等腰三角形， BD ED600(m)，BC DC200 (m).3在 BCD 中，由余弦定理可得cos 2 ，2 30，4 60.6002 2003 2 2003 226002003 32在 Rt ABC
13、 中，AB BCsin 4 200 300(m)，故选 B.332法二：由于 BCD 是等腰三角形，BD DCcos 2 ，12即 300200 cos 2 .cos 2 ，2 30，4 60.332在 Rt ABC 中， AB BCsin 4200 300(m)，故选 B.332【答案】 B3.某人先向正东方向走了 x km，然后他向右转 150，向新的方向走了 3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么 x 的值为( )3A. B.23 3C.2 或 D.33 3【解析】 如图，在 ABC 中由余弦定理得39 x26 xcos 30，8即 x23 x60，解之得 x2 或 .3 3 3【答
14、案】 C4.在高出海平面 200 m 的小岛顶上 A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是 45与 30，此时两船间的距离为_m. 【导学号：18082008】【解析】 过点 A 作 AH BC 于点 H，由图易知 BAH45， CAH60， AH200 m，则 BH AH200 m， CH AHtan 60200 m.3故两船距离 BC BH CH200( 1)m.3【答案】 200( 1)35.如图 125 所示，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为 ，在塔底 C 处测得点 A 的俯角为 ，已知铁塔 BC 部分的高为 h，求出山高 CD.图 125【解】 法一：在 ABC 中， BCA90 ， ABC90 ， BAC ， BAD ，则 ，BCsin ABsin 90 AB .BCsin 90 sin 在 Rt ABD 中，BD ABsin BADBCsin 90 sin sin ，hcos sin sin CD BD BC h.hcos sin sin 9法二：在 ABC 中， ABC90 ， BAC ，则 .ACsin 90 BCsin AC .BCsin 90 sin hcos sin 在 Rt ACD 中，CD ACsin .hcos sin sin
