1、1全等三角形本章总结提升问题 1 命题与逆命题、定理与逆定理什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？2例 1 下列命题的逆命题不是定理的是( )A相等的角是对顶角B两直线平行，同位角相等C全等三角形的对应角相等D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等问题 2 运用全等三角形解决问题从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？判定两个直角三角形全等的条件是什么？例 2 已知：如图 13T1 所示， CD AB， BAD 和 ADC 的平分线相交于点 E，过点E 的直线 BC 分别交
2、DC， AB 于 C， B 两点求证： AD AB CD.图 13T13问题 3 尺规作图什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？例 3 如图 13T2，已知 ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求回答问题：(1)作 ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D；(2)作线段 BD 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F.由(1)(2)观察：线段 EF 与线段 BD 有怎样的关系？图 13T2问题 4 等腰三角形、角平分线和线段垂直平分线的综合应用利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角
3、形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？线段的垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？例 4 如图 13T3 所示， AC CD， BD CD，线段 AB 的垂直平分线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，且 AC FD，连结 AF， BF.求证： ABF 是等腰直角三角形图 13T34等角对等边的几个应用等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三角形的判定条件不过，它是根据三角形的边来判定它是等
4、腰三角形的那么，能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？回答是肯定的，课本的第 82 页就证明了“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” ，这个结论简称为“等角对等边” 至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了下面，我们来看看这个定理的常见应用：一、用等角对等边判定等腰三角形例 1 如图 13T4，已知 AC BC， BD AD， AC 与 BD 交于点 O， AC BD.(1)求证： BC AD；(2)试判断 OAB 的形状，并说明理由解：(1)证明： AC BC， BD AD， C D90.在 Rt ACB 和 Rt BDA 中， AB BA，
5、 AC BD，Rt ACBRt BDA(H.L.)， BC AD.(2) OAB 是等腰三角形理由：由 ACB BDA，得 CAB DBA， OA OB， OAB 是等腰三角形点评 判定一个三角形是等腰三角形的两种途径：两边相等或两角相等图 13T45二、用等角对等边证明等腰三角形例 2 如图 13T5，点 O 是 AD， BC 的交点， AC BD， BAC ABD.求证： ABO 是等腰三角形图 13T5解析 要证明 ABO 是等腰三角形，由图可知，就是要证明 OA OB，也就是要证明 CBA DAB，则只要证明 ABC BAD 即可证明： AC BD(已知)， BAC ABD(已知)，A
6、B BA(公共边)， ABC BAD(S.A.S.)， CBA DAB(全等三角形的对应角相等)， OA OB (等角对等边)，即 ABO 是等腰三角形点评 由例 2 进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，即由题设推理出要证明的结果三、用等角对等边计算等腰三角形例 3 已知三角形的内角分别是 x 度， y 度，且 x2 y20.三角形的一边长为 7，另一边长为 10，求它的周长解析 先由内角关系 x2 y20，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形的周长解：由 x2 y20，得( x y)(x y)0.6因为 x y0，所以 x y0,
7、 即 x y.由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形当腰长是 7 时，则底边长是 10，其周长是 771024；当腰长是 10 时，则底边长是 7，其周长是 1010727.所以这个三角形的周长是 24 或 27.点评 涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解7详解详析【整合提升】例 1 C例 2 解析 要证 ADABCD，在 AD 上截取线段 AF，使 AFAB，只需证 DFDC 即可证明：在线段 AD 上截取线段 AF，使 AFAB，连结 EF.在ABE 和AFE 中，ABAF，BAEFAE，AEAE，ABEAFE( S.A.S.)，BAFE(全等三角形的对应角相等)CD
8、AB，CB180(两直线平行，同旁内角互补)又DFEAFE180，CDFE.在CDE 和FDE 中，CDEFDE，CDFE，DEDE，CDEFDE( A.A.S.)，DCDF，ADAFDFABCD.例 3 解析 (1)以点 B 为圆心，任意长为半径画弧与 AB，BC 交于 E，F 两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点 B 与两弧在ABC 内部的交点并延长，与 AC 交于点 D，BD 就是所求作的角平分线8(2)分别以 B，D 为圆心，以大于 BD 一半的长为半径在 BD 的两侧画弧交于两点，连结两弧的交点，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，EF 就是所求作的线段 BD 的垂直平分线解：(1)，(2)如图所示从图中可以看出 EF 与 BD 互相垂直平分例 4 解析 EF 垂直平分 AB，AFBF.只需再证AFB90，即证AFCBFD 90.根据“ H.L.”可判定 RtACF 和 RtFDB 全等，从而CAFDFB，再由AFCCAF90可证AFCDFB 90.证明：EF 是 AB 的垂直平分线，FAFB.ACCD，BDCD，ACF 与FDB 都是直角三角形在 RtACF 与 RtFDB 中，ACFD，FAFB, RtACF RtFDB( H.L.)，CAFDFB.C90，CAFCFA90，CFADFB90，AFB90，9故ABF 是等腰直角三角形
