1、典例分析题型一：求周期问题【例 1】 已知 是定义在 上的函数， 且()fxR(10)()fxf，则 （ ）2020)fx)是A. 周期为 20 的奇函数 B. 周期为 20 的偶函数C. 周期为 40 的奇函数 D. 周期为 40 的偶函数【例 2】 求函数 的最小正周期tancoty【例 3】 定义在 上的函数 满足 ，且函数 为奇函R()fx(3)(0ffx32fx数给出以下 3 个命题：函数 的周期是 6；()fx函数 的图象关于点 对称；302，函数 的图象关于 轴对称，其中，真命题的个数是（ ） ()fxyA3 B2 C1 D0【例 4】 若 y=f(2x)的图像关于直线 和 对称
2、，则 f(x)的一个周期为（ ax()2ba）A B C D2ab2()b4()ba【例 5】 已知函数 对于任意 ，都有 ，且()fx,abR()()fabf2()fab板块三.函数的周期性(0)f求证： 为偶函数；()fx若存在正数 m 使得 ，求满足 的 1 个 T 值（T 0） ()0f()(fxTf【例 6】 设 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称且对任意()fx 1x，都有 ， 12,0,1212()()fxfx(0fa求 及 ；()f4f证明 是周期函数；x题型二：求值问题【例 7】 已知定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称图形，且满足R()fx304， ， 那
3、么， 的3()2fxf1f02f (1)2(06)ff值是（ ）A1 B2 C D【例 8】 （2005 天津卷）设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 的图象关于直线yfx对称，则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.12x【例 9】 （2006 年安徽卷理）函数 对于任意实数 满足条件 ，若fxx12fxf则 _。15,ff【例 10】 (2006 年山东卷）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为 ( )(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2【例 11】 （1996 全国，15）设 是 上的奇函数
4、， ，当fx,2fxfx0x1 时， ，则 f（7.5）等于（ ）fxA.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.5【例 12】 已知函数 f(x)的定义域为 N，且对任意正整数 x，都有 f(x)f(x1)f(x1) 若 f(0)2004，求 f(2004)【例 13】 函数 在 上有意义，且满足： 是偶函数； ；()fxR()fx(0)9f是奇函数，求 ()1g(208)f【例 14】 是定义在 R 上的函数，对任意的 xR，都有 和()fx (3)(fxf，设 ，2 ()gxf求证 是周期函数；()g如果 f（998）=1002，求 f（2000）的值【例 15】 数列a n中，a 1a
5、，a 2b，且 an2 a n1 a n(nN )求 a100；求 S100.题型三：其他综合问题【例 16】 （2006 福建卷）已知 是周期为 2 的奇函数，当 时，()fx01x设 则()lg.fx63(),(),52afbf5(),cf（A） （B） （C） （D）bcacbaca【例 17】 （2005 福建卷 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，且 ，()fx (2)0f则方程 =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） ()fxA5 B4 C3 D2【例 18】 已知函数 是定义在 上的周期函数，周期 ，函数()yfxR5T是奇函数 头htp:/w.xjkygcom
6、126t:/.j又知 在 上是一次函数，在 上是二()1yfx()fx0,11,4次函数，且在 时函数取得最小值 。5证明： ；()40f求 的解析式；,1yfx求 在 上的解析式。()f4,9【例 19】 （05 广东卷）设函数 在 上满足 ，()fx,)(2)()fxf，且在闭区间0，7上，只有 (7)()fxf130（）试判断函数 的奇偶性；()yf（）试求方程 =0 在闭区间 -2005，2005上的根的个数，并证明你的x结论【例 20】 对每一个实数对 x,y,函数 f(t)满足 f(xy) f(x)f(y )xy 1,若 f(2)=2,试求满足 f(a) a 的所有整数 a.【例 21】 已知 为定义在区间 ， 上以 2 为周期的函数，对 ，用()fx()kZ表示区间 ， ，已知 时， kI21k0xI2()fx求 在 上的解析式；()fxI对自然数 k，求集合 使方程 在 上有两个不相等的实|kMa()fakI根
