1、1第 3 讲 平面向量学习目标【目标分解一】平面向量的运算【目标分解二】三角与向量的综合问题重点 平面向量的运算【课前自主复习区】核心知识储备一：平面向量共线、垂直的两个充要条件若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则：(1)ab a b(b0) (2)ab ab0 核心知识储备二：数量积常见的三种应用已知两个非零向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则(1)证明向量垂直： ab ab0 x1x2 y1y20.(2)求向量的长度：| a| .(3)求向量的夹角：cos a， b .ab|a|b|核心知识储备三：平面向量解题中应熟知的常用结论(1)A， B， C 三点共
2、线的充要条件是存在实数 ， ，有 ，且 1.OA OB OC (2)C 是线段 AB 中点的充要条件是 ( )OC 12OA OB (3)G是 ABC 的重心的充要条件为 0，若 ABC 的三个顶点坐标分别为 A(x1， y1)，GA GB GC B(x2， y2)， C(x3， y3)，则 ABC 的重心坐标为 .(x1 x2 x33 ， y1 y2 y33 )(4)已知 O， N， P 在 ABC 所在平面内若| | | |，则 O 为 ABC 的 ；若OA OB OC 0，则 N 为 ABC 的 ；若 ，则 P 为 ABC 的 NA NB NC PA PB PB PC PC PA (5)
3、非零向量 a， b 垂直的充要条件： ab ab0 |a b| |a b|x1x2 y1y20.(6)向量 b 在 a 的方向上的投影为| b|cos ，ab|a|2向量 a 在 b 的方向上的投影为| a|cos .ab|b|（7）夹角与数量积的关系(1)当 为锐角时， ab0，且 a、 b 不同向， ab0 是 为锐角的必要不充分条件；(2)当 为直角时， ab0，但由 ab0，不能得到 a b，还可能 a0 或 b0.(3)当 为钝角时， ab0，且 a、 b 不反向， ab0 是 为钝角的必要不充分条件高考真题回访1(2015全国卷)已知点 A(0,1)， B(3,2)，向量 (4，3
4、)，则向量 ( )AC BC A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)2(2014全国卷)设 D， E， F 分别为 ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点，则 ( )EB FC A. B.BC 12AD C. D.AD 12BC 3(2015全 国卷)向量 a(1，1)， b(1,2)，则(2 a b)a( )A1 B0 C.1 D24(2017全国卷)已知向量 a(1,2)， b( m,1)若向量 a b 与 a 垂直，则 m_.5(2013全国卷)已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60， c ta(1 t)b，若 bc0，则t_.6(2012全国卷)已知向 量 a，
5、 b 夹角为 45，且| a|1，|2 a b| ，则| b|_.10【课堂互动探究区】【目标分解一】平面向量的运算【例 1】(1)(2017 衡水模拟)已知平面向量 m， n 的夹角为 ，且| m| ，| n|2，在 ABC 中， 6 32 m2 n， 2 m6 n， D 为 BC 的中点，则| |( )AB AC AD A2 B4 C6 D8(2)已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得DE2 EF，则 的值为( ) AF BC A B. C. D.58 18 14 118（3）(2017黄山二模)已知点 A(
6、0,1)， B(2,3)， C(1,2)， D(1,5)，则向量 在 方向上的投影为( )AC BD 3A. B C. D21313 21313 1313 1313【规律总结 1】平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现【我会做】(1)在梯形 ABCD 中， AD BC，已知 AD4， BC6，若 m n (m， nR)，则 ( )CD BA BC mnA3 B C. D313 13(2)已知向量 a(1,2)， b(3,1)， c( x,4)，若( a b) c，则 c(a b)( )A(2,12) B(2,12)C14
7、 D10【目标分解二】三角与向量的综合问题【例 2】 (名师押题)已知向量 a ， b(cos x，1)(sin x，34)(1)当 a b 时，求 cos2xsin 2 x 的值；(2)设函数 f(x)2( a b)b，已知在 ABC 中 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若a ， b2，sin B ，求 y f(x)4cos 的取值范围. 363 (2A 6)(x 0， 3)【我会做】在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，设 m ， n(2cos( 6 A)， cos 2A cos 2B)，且 mn .(1， cos( 6 A)(1)求角
8、B 的值；4(2)若 ABC 为锐角三角形，且 A ，外接圆半径 R2，求 ABC 的周长 4【课后巩固区】【 验收复习效果】1.在平行四边形 ABCD 中， AC 为一条对角线， (2,4)， (1,3)，则 ( )AB AC DA A(2,4) B(3,5) C(1,1) D(1，1)2.(2017山西四校联考)向量 a， b 满足| a b|2 |a|，且( a b)a0，则 a， b 的夹角的余弦值为( )3A0 B. C. D.13 12 323若非零向量 a， b 满足| a| |b|，且( a b)(3 a2 b)，则 a 与 b 的夹角为( )223A. B C. D 4 3
9、2 344(2017济南一模)设向量 a 与 b 的夹角为 ，若 a(3，1)， b a(1,1)，则 cos _.5(2017东北三省联考)两个单位向量 a， b 满足 ab ，且 a( xa b)，则|2 a( x1) b|_.6(2017深圳二模)已知非零向量 m， n 满足 4|m|3| n|，cos m， n ， 若 n( t m n)，则实数 t 的13值为( )A4 B4 C. D94 947.已知 a(2,1)， b( ，1)， R， a 与 b 的夹角为 .若 为锐角，则 的取值范围是_8.如图 7 在 ABC 中， BAC120， AB1， AC2， D 为 BC 边上一点， 2 ，则 _.DC BD AD BC 图 79已知 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心，则( )( )_. OA OB OA OC 10已知 ABC 的周长为 6， 且| |，| |，| |成 等比数列，求：BC CA AB 5(1) ABC 面积 S 的最大值；(2) 的取值范围. BA BC
