1、1,第九章 线性系统的状态空间综合法,9.1 线性系统的能控性与能观测性,9.2 线性系统的结构分解（略）,9.3 线性系统的状态反馈与输出反馈,9.4 线性系统的状态观测器（仅介绍全维观测器）,9.5 线性系统的解耦（略）,9.6 线性系统的实现（略）,2,9-1 线性系统的可控性与可观性,9-1-1 问题的提出 可控性系统内部所有变量的运动能由u来控制，即ux的关系。 可观性系统内部所有变量的运动能由y来反映，即y x的关系。,例9-1,显然，b1，b2，c1，c20，x1,x2 既可控又可观测。,b1=0，x1不可控b2=0，x2不可控c1=0，x1不可观c2=0，x2不可观,3,显然，
2、b1,b2,c1,c20，x1,x2既可控又可观测。b2=0x2不可控b1=0只要b20， x1可控,即：当b20时，无论b1为何值， x1,x2均可控,c1=0x1不可观测c2=0只要c10， x2可观测,即：当c10时，无论c2为何值， x1，x2均可观测,例9-2 已知系统状态空间表达式，,4,9-1-2 可控性问题基本概念,考虑线性时变系统：,1）状态可控 非零初始状态,称状态x0 在时刻 t0 可控。2）系统可控 若任意x0在t0时刻可控，称为系统在t0时刻可控。 若系统在所有时刻可控，称为系统是一致可控的。 3）系统不完全可控 状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的。
3、,存在无约束的容许控制u(t)在有限时间间隔内(t0,tf),5,要求（t0，t1）是有限时间间隔；对转移的形式和路线没有要求， 即可控性表征系统运动的一个定性的特性；关于u(t)：对u(t)的幅值没有限制，但要求必须是容许控制，即：,亦即u(t)的每一个分量ui(t)在Tt上平方可积；对线性定常系统，在t0，t1上考虑与在0，t1-t0上考虑是等价的，即 可控性与t0无关。,若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控；终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。,几点说明:,6,4）状态可达与系统可达 对系统：,若存在容许控制u(t)，使得：,则称状态xf在t0时刻是可达的。 若状态xf
4、对所有时刻都是可达的，则称xf为完全可达或一致可达。 若每个状态在t0时刻均可达，则称系统在t0时刻可达。比较：,状态可达：,系统可控：状态完全可控，体现x0的任意性 系统可达：状态完全可达，体现xf的任意性应指出：线性定常系统：可控性与可达是等价的； 但对离散系统和时变系统，严格地讲，二者并不等价。,状态可控：,7,9-1-3 可观测性的基本概念,考虑线性时变系统,u(t)=0：,设：初始时刻t0；初始状态x(t0)；时间定义区间：Tt=(t0，t) 在有限时间(t0t1)内，能由输出y(t) (tTt)唯一确定初态值x(t0),则称系统在t0，t1内是完全可观测的。简称可观测。 若对所有
5、tf t0，系统均可观测，则称系统在t0 ,)内完全可观测，简称系统完全可观测。 若不能由y(t)(tTt)唯一确定所有状态x(t0),则称系统不完全可观测，简称不可观测。,8,9-1-4 线性定常系统可控性判据,考虑线性定常系统：,x(t)n维向量； u(t)p维向量；系统简记为：(A,B)1)格拉姆矩阵判据,其中：,格拉姆矩阵,显然，用此判据需要求eAt，再求积分。通常只用于理论分析、证明。,2）秩判据,即当 rank(S)=n （满秩），则系统完全可控 。,其中：,9,例9-3 判断已知系统的可控性。,解：可控性判别阵为:,可见，rankS=23，系统不可控。,10,解：该桥式电路的微分
6、方程为：,选取状态变量x1=iL ，x2=uc ，消去中间变量，得：,例9-4 桥式网络如图，试用可控性判据判断可控性。,11,其可控性矩阵为：,当电桥处于平衡状态，由于R1R4=R2R3，使得：,rankS=1n=2，系统不可控。由状态方程易知，此时 x2是不可控变量。,12,电桥平衡时，uc0，即电容上的电压uc不受输入电压ui控制 。,13,解：该电路的微分方程为：,其中：,消去中间变量，得状态方程：,例9-5 网络如图，试用可控性判据判断其可控性。,14,其可控性矩阵为：,rankS=2=n，系统可控,rankS=1i所对应的约当块的块数时，系统可能可控； 输入的维数p i 所对应的约
7、当块的块数时，系统可能可观； 输出的维数q i 所对应的约当块的块数时，系统一定不可观。,34,例9-15 判断已知系统的可观测性。,所以，该系统状态完全可观。,35,（1）,以上两个矩阵元素不全为零，系统可观。,解：,第一个J块对应的第一列元素为零，系统不可观。,（2）,解：,课堂练习试判断下列系统的可观测性。,36,则,一定可观,6）能观标准型,37,9-1-7 可控可观性与传递矩阵的关系,1) SISO系统,c(sI-A)-1 不存在零极点对消 可观,由c(sI-A)-1b导出的传递函数不存在零极点对消 可控可观,(sI-A)-1b不存在零极点对消 可控,思考题：研究下列系统可控性、可观
8、性与传递函数的关系。,（1）,可控不可观,（2）,可观不可控,（3）,不可控不可观,38,多输入系统可控 (sI-A)-1B的n行线性无关,多输出系统可观 C(sI-A)-1的n列线性无关,例9-16 确定已知系统的可控可观性。,解：,三个行向量线性无关，故系统可控。,2) MIMO系统,39,三列线性无关，故系统可观。,注意：多输入系统的可控性与(sI-A)-1B中有无零极点对消无关； 多输出系统的可观性与C(sI-A)-1中有无零极点对消无关。,c(sI-A)-1 存在零极点对消 不完全可观。,40,1 非奇异线性变换的不变性,变换前后，系统特征值、传递矩阵、可控性、可观测性均不变。证明：
9、非奇异变换的不变性,(P特征向量构成),9-1-8 非奇异线性变换的不变性,1）特征值不变性,41,2） 传递矩阵不变,3）可控性不变,4）可观测性不变,同理可证：,42,令 整理：,2 化可控系统为可控标准型 Ac,43,即:,即 为可控性矩阵的逆矩阵的最后一行,44,的计算方法：,（2）计算可控性矩阵逆阵 ，,（3） 取 的最后一行构成行向量,（4） 构造P阵,（5）求 即将非标准型可控系统可控标准型的变换矩阵。,（1）计算可控性矩阵,45,例9-17 将状态方程化为可控标准型。,解：,系统可控。,46,若有：,1 定义考虑系统：S1,9-1-9 对偶原理,S2,则称系统S1和系统S2互为
10、对偶系统 。其结构图如下：,或：,47,将其化为可观测标准型的问题,即对偶系统一定可控：,将其对偶系统化为可控标准型，便可获得可观测标准型。,对偶系统化为可控标准型的问题。,(2) 互为对偶系统的特征值相同 3 对偶原理应用化可观测系统为可观标准型 设SISO系统可观测，动态方程为:,2 对偶系统的性质,48,基本思路：,可观，但非可观标准型,系统S1,系统S2,可控，但非可控标准型,系统S3,其中：,系统S4,其中：,即对S1做PT变换,49,计算步骤：,1）列出对偶系统的可控性矩阵S1 （原系统的可观性矩阵V2）,2）求,3）取出 的第n行 vn 构造P阵,4）求,5）利用对偶原理获得原系
11、统可观测标准型,即 引入变换 将对偶系统化为可控标准型,50,9-1-10 线性离散系统的可控性和可观测性（略）,51,9-2 线性定常系统结构分解（略）,52,9-3 反馈结构与极点配置,9-3-1 常见的反馈结构,（1）状态反馈 即将状态变量引到输入端：,引入状态反馈后闭环系统状态方程：,考虑n阶线性定常系统,输出方程不变,传递函数矩阵,注意K的维数。,53,（2）输出反馈,1）输出反馈至状态微分 原系统：,引入输出反馈：,传递函数矩阵,2）输出量反馈至参考输入 引入输出反馈：,动态方程：,思考：H、F的维数,qx1,nx1,nxq,px1,pxq,54,三种反馈比较：,系统矩阵：A- B
12、K,pxn,SISO：K为1xn的行向量 K=k1 k2 kn,系统矩阵：A- HC,nxq,SISO：H为nx1的列向量,系统矩阵：A- BFC,pxq,SISO：F为标量,55,A- BFC B C | I-(A-BFC)|=0,A B C | I-A|=0,A- BK B C | I-(A-BK)|=0,A- HC B C | I-(A-HC)|=0,状态反馈：完全表征系统动态行为，信息量大，可在不增加系统维数 情况下自由支配相应特性。输出反馈：仅利用状态变量线性组合进行反馈,信息量较小,所引入的补 偿装置使系统维数增加，且有时难以得到所期望的响应特性。若令K=FC则状态反馈与反馈至输入
13、端的输出反馈等价。,所以状态反馈功能更强。,若已知F，必有一个K与之对应若已知K，不一定有F与之对应,三种反馈结构比较小结,56,9-3-2 反馈结构对系统性能的影响,1）对可控、可观性的影响,定理1 引入状态反馈，,系统的可控性不变，但可能改变系统的可观测性。,定理2 输出到状态微分的反馈，,不改变系统的可观测性，但可能改变系统的可控性。,定理3 输出至参考输入的反馈，,既不改变系统的可控性，也不改变系统的可观测性。,57,故原系统可观测,引入状态反馈：,其中：,引入反馈后的系统矩阵：,引入反馈后的可观测性：,故不可观,可观性改变的原因：,解：原系统可观性矩阵：,例9-22 已知系统状态空间
14、描述,引入状态反馈K=0 4,分析其可观性.,状态反馈产生了零极点对消。,58,状态反馈和输出反馈都能影响系统的稳定性。镇定通过引入反馈，使反馈后的闭环系统稳定。状态反馈的镇定问题：,对于,如果存在状态反馈矩阵K，使通过状态反馈 u=v-Kx 构成的闭环系统的系统矩阵 (A-BK) 特征值均具有负实部，称系统实现了状态反馈镇定。定理4 当且仅当线性定常系统不可控部分的特征值都具有负实部时， 系统是状态反馈可镇定的。,2）反馈结构对系统稳定性的影响,例如，不可控子系统的状态方程为,特征值为1=-1， 2=-3，没有正实根存在，故能通过状态反馈使其镇定。,59,状态反馈不影响不可控子系统的极点。,
15、证明：设(A,B)不完全可控，通过结构分解(非奇异线性变换),状态反馈矩阵为：,引入反馈后，系统矩阵：,反馈后系统特征方程：,60,极点配置利用状态反馈或输出反馈使闭环极点位于所希望的位置。极点配置的目的改善系统的性能。基本问题：,1）实现极点配置的的条件；2）极点配置的算法如何求反馈矩阵。,（1）实现极点配置的条件定理5 用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件是被控系统可控。定理6 用输出至状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是 受控系统可观。说明：对于反馈至参考输入端的输出反馈，通常不能实现任意配置 极点。,9-3-3 SISO系统的极点配置,61,以状态反馈矩阵K的求法为例来介绍算法基
16、本思路：求反馈矩阵K，使闭环系统极点为希望极点1,2 , n 即求K，使下式成立：,1 设单输入系统为可控标准型，即：,则,（2）SISO系统的极点配置算法,62,63,2 设系统 (A, b) 可控，但不是标准型,处理方法,直接求解借助于线性变换,下面介绍第二种方法的计算步骤1）求出原系统特征多项式,2）求出希望的特征多项式,4）求变换矩阵PP-1变换把 (A，b)化为可控标准型,其中P1是,的最后一行,5）求状态反馈阵K,64,求状态反馈向量K，使闭环特征值为,解：系统可控性矩阵：,系统可控，故可以通过状态反馈实现任意极点配置,方法1 直接法： 希望的闭环特征多项式：,例9-23 已知SI
17、线性定常系统的状态方程为：,65,比较系数得：,解得：,即,66,方法2 线性变换法：被控系统的特征多项式为：,希望特征多项式：,于是,可控性矩阵,67,绘制状态变量图,原系统：,状态反馈：,68,3 已知被控系统的I/O描述（传递函数或微分方程）,一般方法：先列写状态空间表达式，再求状态反馈 （能控标准型实现较为简单）,例9-24 设受控系统传递函数为,试用状态反馈使闭环极点配置在-2，-1+j，-1-j,解：系统为SISO系统，其传递函数无零极点对消 故该系统可控可观，可实现任意配置极点。,可控标准型实现：,69,引入状态反馈后的系统矩阵：,引入状态反馈后的特征方程：,希望特征方程,对应系
18、数相等:,70,状态变量图：,思考：1）引入状态反馈后，系统的可控可观性是否发生了变化？ 2）能否通过输出反馈实现该极点配置？,71,考虑SISO系统,是可控的，但不是标准型。,为可控标准型,线性变换前后系统传递函数不变，故受控系统的传递函数为,（3）状态反馈对传递函数零点的影响,72,引入状态反馈,闭环系统,相应传递函数,73,比较反馈前后系统的传递函数： 状态反馈只改变系统极点，不改变系统零点； 当希望极点与原系统的某些零点相同时，Gk(s)有零极点对消，可观测性不能保证。,74,9-4-1 全维观测器及其设计全维n维（n个状态变量全部重构）状态观测器利用被控对象的输入量与输出量来重构系统
19、状态。目的用观测器重构的状态代替被控系统的状态，实现状态反馈。（1）全维状态观测器构成方案 设被控对象动态方程为：,若实现状态反馈，而有些状态变量不能或不易引出时，利用计算机模拟与被控对象完全相同的动态方程,9-4 状态观测器及其设计,工程实现状态反馈的关键：状态可测，即可获得各状态的信息。,状态观测器,75,模拟系统,固有系统,状态反馈,由状态方程的解：,比较：输入引起的部分相同，但由初态引起的部分与x(0)有关，故有：,2）系统(A，B，C)在实际模拟中一定存在误差。,关键：,问题：1） 的初始状态只能是估计，一定会存在误差；,重构状态,76,状态观测器,固有系统,状态反馈,_,解决问题的
20、思路： 调整 使之=x(t),利用反馈概念：当给定输出偏差，通过调整环节使偏差 当偏差=0时，输出=给定,解决的方法：以y(t)为给定，,为反馈信号,通过选择合理反馈矩阵H，配置观测器的极点，,从而使 迅速跟踪x(t)。,77,全维观测器的方程,观测器系统矩阵,观测器分析设计的关键问题：,在 的情况下，保证,观测器存在条件,（2）全维观测器的分析设计,由观测器方程和被控系统方程,欲使,只要(A-Hc)的特征根具有负实部。,解得：,78,H的选择(A-HC)的极点位置,过大：实现困难，噪声加剧,过小：速度慢,一般要求观测器的响应速度要比状态反馈系统的快些，但衰减不能过快。,设计全维状态观测器的一
21、般步骤：1）判断系统的可控可观性；2）确定观测器的极点：与系统闭环极点相比，远离实轴；3）计算输出反馈矩阵Hnq;4）绘制系统结构图。,79,小 结,9-4-1 全维观测器及其设计1 状态观测器的作用实现状态反馈2 带有全维状态观测器的系统的结构,3 全维观测器的方程,4 全维观测器估计误差,5 设计全维状态观测器的一般步骤：1）判断系统的可控可观性；2）确定观测器的极点：与系统闭环极点相比，远离实轴；3）计算输出反馈矩阵Hnq;4）绘制系统结构图。,80,解: 被控对象的传递函数为：,系统可控标准型为：,系统可控可观测。,例9-25 被控对象传递函数, 设计全维状态观测器, 极点-10，-1
22、0。,输出反馈阵H为(2x1)维矩阵，全维观测器系统矩阵为：,令观测器特征方程等于期望的特征方程：,81,系数相等得:,全维观测器状态方程：,82,设计状态观测器的目的：用 代替x(t)，实现状态反馈。,状态反馈子系统：,复合系统动态方程：,9-4-2 分离原理,问题：状态观测器的H与状态反馈K的设计之间是否相互影响？由图知，具有状态观测器的状态反馈系统是2n维的复合系统， 其中：,状态观测器动态方程为：,83,代入系统方程：,则有：,系统传递函数矩阵：,为使分析简化，以状态误差 作为状态变量，即引入非奇异变换：,根据求逆公式：,84,引入真实状态x作为反馈的状态反馈系统,传递函数相同，说明复合系统与状态反馈子系统具有相同的传递特性，与观测器部分无关。即可用估计值代替真实状态作反馈。线性变换后系统特征值具有不变性：,复合系统特征值由状态反馈子系统和全维观测器的特征值组合而成,二者相互独立，彼此互不影响。定理 9-8(分离定理) 若被控系统 (A，B，C) 可控可观测，用状态观测器估值构成状态反馈时，其系统的极点配置和观测器设计可分别独立进行，即K和H可分别独立进行。,85,9-4-3 降维状态观测器及其设计（略）,86,9-5 传递函数矩阵及解耦控制（略）,87,9-6 传递函数矩阵的实现（略）,
