1、第四章 不定积分 4.1 不定积分的概念4.2 不定积分的运算法则与直接积分法4.3 换元积分法 4.4 分部积分法4.5 几种初等函数的积分4.6 不定积分在经济问题中的应用举例,湖南教育出版社,下页,4.1 不定积分的概念,1. 原函数的概念,2. 不定积分的定义,3. 不定积分的几何意义,首页,上页,下页,设f(x)是定义在某区间上的函数，如果存在一个函数F(x)，使得对于该区间上任一点x都有,4.1 不定积分的概念,1. 原函数的概念,定义1,或,那么函数F(x)就称为函数f(x)在该区间上的一个原函数.,首页,上页,下页,定理1,如果函数f(x)在湿疹偏方某区间上连续，那么f(x)在
2、该区间上的原函数一定存在.,定理2,如果函数f(x)有原函数，那么它就有无http:/数多个原函数.,定理3,函数f(x)的任意两个原函数的差是一个常数.,4.1 不定积分的概念,首页,上页,下页,2. 不定积分的定义,定义2,函数f(x)的全部函数叫作f(x)的不定积分，记作,积分号,被积函数,被积表达式,积分变量,其中C是任意常数，称为积分常数.,4.1 不定积分的概念,首页,上页,下页,例1,求下列不定积分:,（1）,（2）,解,（1）,（2）,4.1 不定积分的概念,首页,上页,下页,例2,用微分法湿疹偏方验证等式:,解,性质1,或,性质2,或,4.1 不定积分的概念,首页,上页,下页
3、,3. 不定积分的几何意义,例3,已知某曲线经过点A(0,1)，且其上任意一点处的切线的斜率等于2x，求此曲线的方程.,解,设所求曲线方程为,依题意可得,因而2x的全部原函数是,把,代入,得,于是，所求曲线方程是,4.1 不定积分的概念,首页,上页,下页,一般地，函数f(x)的一个原函数F(x)的图像叫作函数f(x)的积,分曲线，不定积分,在几何上表示积分曲线y=F(x)沿y,轴上下平移而得到的一族曲线（称为积分曲线族）.,所以积分曲线族上横坐标相同的点处的切线的斜率都相等，即切线都平行.,4.1 不定积分的概念,首页,上页,下页,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,1. 不定积分的基本公
4、式,2. 不定积分的基本运算法则,3. 直接积分法,首页,上页,下页,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,1. 不定积分的基本公式,首页,上页,下页,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,例1,求下列不定积分：,（1）,（2）,（3）,解,（1）,（2）,（3）,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,2. 不定积分的基本运算法则,法则1,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分符号外面，即,法则2,两个函数代数和的不定积分等于http:/各个函数的不定积分的代数和，即,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,例2,求,解,4.2 不定
5、积分的运算法则与直接积分法,注意在分项积分后，每个不定积分的结果都应有一个积分常数，但任意常数之和仍是任意常数，因此最后结果只要写一个任意常数即可,首页,上页,下页,3. 直接积分法,直接用积分基本公式与运算性质求不定积分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（湿疹偏方包括代数变形与三角变形），再利用积分基本公式与运算法则求不定积分的方法叫作直接积分法.,例3,求,解,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,例4,求,解,例5,求,解,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,例6,求,解,例7,求,解,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,例
6、8,一物体作直线运动，速度为,，当,时，物体所经过的路程为3m，求物体的运动方程.,解,设物体运动的方程为,把t=1,s=3代入得,所求物体运动方程为,4.2 不定积分的运算法则与直接积分法,首页,上页,下页,4.3 换元积分法,2. 第二类换元积分法,1. 第一类换元积分法,首页,上页,下页,4.3 换元积分法,定理引入,1. 第一类换元积分法,首页,上页,下页,4.3 换元积分法,定理,设f(u)具有原函数，,可导，则有,通常把这种求不定积分的方法叫作第一类换元积分法，因此第一类换元法又叫凑微分法.,首页,上页,下页,例1,求,解,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例2,求,解,4.3
7、 换元积分法,首页,上页,下页,例3,解,求,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例4,求,解,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例5,求,解,例6,求,解,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例7,求,解,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例8,求,解,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例9,求,解,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例10,解,4.3 换元积分法,求,首页,上页,下页,4.3 换元积分法,2. 第二类换元积分法,首页,上页,下页,例11,求,解,令,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例12,求,解,令,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例13,求
8、,解,令,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例14,求,解,令,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,由图易知,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例15,求,解,令,则,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,由图易知,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,综上所述，当被积函数含有形如,或,的根式时，可作如下变换消去根号：,（1）对,令,（2）对,令,（3）对,令,上述三种变量代换统称为三角代换.,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,例16,求,解,令,，则,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,4.3 换元积分法,首页,上页,下页,4.3 换元积
9、分法,首页,上页,下页,4.4 分部积分法,设函数,与,具有连续导数，由两个,函数乘积的导数公式,移项，得,两边积分得,即,上述公式叫作分部积分公式.,首页,上页,下页,利用分部积分公式求积分的方法叫做分部积分法.,应用分部积分法时，可按下述步骤计算：,4.4 分部积分法,首页,上页,下页,例1,求,解,4.4 分部积分法,( ),首页,上页,下页,例2,求,解,4.4 分部积分法,一般地，选取u和v要考虑以下两点：,（1）v要容易求得；,（2） 要比 容易积出.,首页,上页,下页,例3,求,解,4.4 分部积分法,首页,上页,下页,例4,求,解,4.4 分部积分法,首页,上页,下页,例5,求
10、,解,4.4 分部积分法,首页,上页,下页,例6,求,解,4.4 分部积分法,首页,上页,下页,例7,求,解,令,4.4 分部积分法,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,1. 有理函数的积分,2. 三角函数有理式的积分举例,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,1. 有理函数的积分,称为有理函数.,mn时，称R(x)为真分式；,时，称R(x)为假分式.,其中和m是n非负整数，,和,都是实数，而且,并且假定P(x)与Q(x)之间没有公因子,首页,上页,下页,例1,求下列不定积分:,（1）,（2）,（3）,（4）,解,（1）,4.5 几种初等函数的积分,（2）,（3）,首页,上页
11、,下页,（4）,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,例2,求,解,设,令,得,令,得,令,得,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,例3,求,解,去分母，得,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,例4,求,解,设,去分母，得,令,得,4.5 几种初等函数的积分,令,得,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,例5,求,解,由于被积函数是假分式，因此先把它化为多项式与真分式之和的形式：,设,由待定系数法可得,4
12、.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,注意 上面我们所讲的是求有理分式函数积分的一般方法. 可以看到，实际计算时较繁. 顺此，解题时，我们总是先考虑有无别的更简便的拆项技巧和积分方法.,首页,上页,下页,2. 三角函数有理式的积分举例,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角函数有理式.,例6,求,令,解,则,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,变量代换,通常称为万能代换.,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,例7,求,解,例8,求,解,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,
13、例9,求,解,4.5 几种初等函数的积分,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,常用的降幂公式有三角函数中的倍角公式及积化和差公式：,首页,上页,下页,4.5 几种初等函数的积分,例9,求,解,首页,上页,下页,4.6 不定积分在经济问题中的应用举例,如果已知边际成本,如果已知边际收入,由于不定积分中含有任意常数，为了求出一个具体的经济函数，还需给出一个条件以确定积分常数.,首页,上页,下页,4.6 不定积分在经济问题中的应用举例,例1,某工厂生产某种产品的边际成本为,（元/件）,其中x为产量.又已知固定成本为2000元，求总,成本函数.,解,总成本函数为,固定成本是不随产量的变化而变
14、化的，所以对于总成本函数C(x)，应有C(0)2000元，由此可定出积分常数 =2000元，于是所求的总成本函数为,首页,上页,下页,4.6 不定积分在经济问题中的应用举例,例2,某商场销售某种商品的边际收入为,试求总收入函数及需求函数.,总收入函数为,解,单价,需求函数,首页,上页,下页,4.6 不定积分在经济问题中的应用举例,例3,已知某种商品的需求函数,其中x为需求量(单位：件),p为单价(单位：元/件).,又已知此种商品的边际成本为,且C(0)=10，试确定当销售单价为多少时，总利润,为最大，并求出最大总利润.,解,总成本函数为,首页,上页,下页,4.6 不定积分在经济问题中的应用举例,总利润函数为,所以当销售单价p=10元时（此时销售量x=50件），总利润为最大，最大利润为240元.,首页,上页,下页,
