1、第五章,非线性方程求 根,1根的存在性。方程有没有根？如果有，有几个根？,2根的搜索。这些根大致在哪里？如何把根隔离开？,3根的精确化。,f (x) = 0 （5.1.1）,1 引 言,1.根的存在性,定理1 设函数 f (x) 在区间a, b上连续，如果f (a) f (b) 0， 则方程 f (x) = 0 在a, b内至少有一实根x*。,定义1,如果存在 使得 ，则称 为方程（5.1.1）,的根或函数 的零点。,2. 根的搜索,(1) 图解法（利用作图软件如 Matlab),(2) 解析法,(3) 近似方程法,(4) 定步长搜索法,（1）画出 f(x) 的略图，从而看出曲线与x 轴交点的
2、位置。,（2）从左端点x = a出发，按某个预先选定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步都检验每步起点x0和终点x0 + h的函数值，若 那么所求的根x*必在x0与x0+h之间，这里可取x0或作为根的初始近似。,定步长搜索法:,例1：考察方程,a,b,或,不能保证 x 的精度,2 二 分 法,执行步骤,1计算f (x)在有解区间a, b端点处的值，f (a)，f (b)。,2计算f (x)在区间中点处的值f (x0)。,3判断若f (x0) = 0，则x0即是根，否则检验：,（1）若f (x1)与f (a)异号，则知解位于区间a, x0， b1=x0, a1=a;,（2）若f (x0)与f (a
3、)同号，则知解位于区间x0, b， a1=x0, b1=b。,反复执行步骤2、3，便可得到一系列有根区间：,4、当,时，停止；,即为根的近似。,当,时，,，即这些区间必将收缩于一点，也就是,方程的根。在实际计算中，只要,的区间长度小于预定容,许误差,就可以停止搜索，即,然后取其中点,作为方程的一个根的近似值。,注：,例1 证明方程,存在唯一的实根,用二分法,求出此根，要求误差不超过,。,解：记,，则对任意,，,因而，,是严格单调的，,最多有一个根，,所以，,有唯一实根,又因为,用二分法求解，要使,只要,解得,取,所以只要二等分7次，即可求得满,足精度要求的根。计算过程如表5.2.1所示,表5.
4、2.1,所以，,简单; 对f (x) 要求不高(只要连续即可) .,无法求复根及偶重根 收敛慢,二分法的优缺点, 问题 虽然二分法计算简单，能够保证收敛，但是它对于方程单根存在区域信息要求太高，一般情况下很难实现，并且不能求重根、复根和虚根。在实际应用中，用来求解方程根的主要方法是迭代法。,使用迭代法求解非线性代数方程的步骤为：(1) 迭代格式的构造；(2) 迭代格式的收敛性分析；(3) 迭代格式的收敛速度与误差分析。,3 迭 代 法,1简单迭代法,f (x) = 0,x = (x),其中 (x)是连续函数。方程（5.3.1）称为不动点方程，满足（5.3.1）式的点称为不动点，这样就将求,（5
5、.3.1）,的零点问题转,化为求,的不动点问题。,称这种迭代格式为不动点迭代。,以不动点方程为原型构造迭代格式,例3：求方程,的一个根.,构造迭代格式,x1 = 0.4771x2 = 0.3939x6 = 0.3758x7 =0.3758,解：,给定初始点,2迭代过程的收敛性与误差估计,停机准则。,（5.3.3）,求方程,在,内的根,例：,。,解：,原方程可以等价变形为下列三个迭代格式,由迭代格式 （1）,取初值,得,结果是发散的？！,由迭代格式 （2）,取初值,得,结果精确到四位有效数字，迭代到,得到收敛结果。,十步才能得到收敛的结果！,由迭代格式（3）,取初值,得,结果精确到四位有效数字，
6、迭代到,得到收敛结果。,四步就能得到收敛的结果了！,迭代格式（1）的迭代函数为,求导得,当,时,故迭代格式（1）是发散的。,分析:,当 时，,迭代格式（2）的迭代函数为,由,知当 时，,所以迭代格式（2）是收敛的。,迭代格式（3）的迭代函数为,当 时，,由,所以迭代格式（3）也是收敛的。,结论:,通过以上算例可以看出对迭代函数,所得到的,若小于1，则收敛；且上界越小收敛速度越快。,求导，,的上界若是大于1，则迭代格式发散；,3. 加速收敛技术,L越小迭代法的收敛速度越快，因此，可以从寻找较小的L来改进迭代格式以加快收敛速度。,思路,(1) 松弛法,引入待定参数,，将,作等价变形为,（5.3.4
7、）,将方程右端记为,，则得到新的迭代格式,由定理2知,为了使新的迭代格式比原来迭,代格式收敛得更快，只要满足,且,越小，所获取的L就越小，,迭代法收敛的就越快，因此我们希望,。,可取,，若记,则（5.3.4）式可改写为,称为松弛因子，这种方法称为松弛法。为使迭代速度加快，需要边计算边调整松弛因子。由于计算松弛因子需要用到微商，在实际应用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是线性收敛的，当计算 不方便时，可以采用埃特金加速公式。,(2) 埃特金加速公式,设迭代法是线性收敛，由定义知,成立，故当,时有,由此可得,的近似值,（5.3.5）,由此获得比,和,更好的近似值,，利用（5.3.5）,序列,的
8、方法称为,(3) Steffensen 加速法,将Aitken加速公式与不动点迭代相结合，可得,（5.3.6）,式构造,埃特金（Aitken）加速方法。,利用（5.3.6）式构造序列,的方法称为Steffensen加速方法。,即每进行两次不动点迭代，就执行一次Aitken加速。,例2 试用简单迭代法和Steffensen加速法求方程,在,附近的根，精确至四位有效数。,解：记,，简单迭代法公式为：,计算得,Steffensen加速公式,计算得,4迭代过程的局部收敛,若存在 的某一邻域 ，迭代过程 对任意初值 均收敛，则 称迭代过程 在根 邻近具有局 部收敛性。,定理3 设 为方程 的根， 在 的
9、邻近 连续，且 ，则迭代过程 在 的邻近具有局部收敛性。,定义2,5迭代过程的收敛速度,设由某方法确定的序列xk收敛于方程的根x*，如果存在正实数p，使得,（C为非零常数）,则称序列xk收敛于x*的收敛速度是p阶的，或称该方法具有p 阶收敛速度。当p = 1时，称该方法为线性（一次）收敛;当p = 2时,称方法为平方（二次）收敛;当1 p 2或C=0, p=1时，称方法为超线性收敛。,定义3,定理4 如果 在 附近的某个领域内有 ( )阶 连续导数，且,则迭代格式 在 附近是 阶局部收敛的，且有,4 牛顿法,一、牛顿法的迭代公式,则有,构造迭代公式,(5.4.1),只要 f C1，且每步迭代都
10、有 ， 而且,则 x*就是 f (x)的根。公式（5.4.1）称为牛顿迭代公式。,考虑非线性方程 设 是根 的近似值，将非线性方程线性化，即将 f (x)在 做Taylor展开,x*,x0,x1,x2,二、牛顿法的几何意义,三、牛顿法的收敛性,定理5 设f (x)在a, b上存在二阶连续导数且满足下列条件：（1）f (a) f (b) 0则由（5.4.1）确定的牛顿迭代序列xk二阶收敛于f (x)在a, b上的唯一单根x*。,注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。,x*,设 , 且 在单根 的邻 近具有二 阶连续导数，则Newton迭代法在根 的邻近至少二阶收敛，且,四、牛顿迭代法的局
11、部收敛性与收敛速度,值得注意的是，当 充分光滑且 是 的重根时，牛顿法在 的附近是线性收敛的。且Newton迭代法在 上的收敛性依赖于初值 的选取，即初值 的选取充分靠近 时，一般可保证Newton迭代法收敛。,定理6,并得出了,是该方程的一个根，无人知道他用什么,方法得出的，在当时这是一个非常有名的结果，试用牛顿法求出此结果。,解： 记,则,，又,，并改写,例3 Leonardo于1225年研究了方程,用牛顿迭代格式,六、牛顿法的变形,1、牛顿下山法,例：用牛顿法求解,解：牛顿迭代公式为,（1） 取初值x0=1.5，有,（2）取初值x0=0.6，有,若上述迭代过程满足单调性，称下山成功，否则
12、失败。该迭代过程等价于：,下山因子 可用逐步搜索法确定，即先令 ，判断单调性是否成立，若不成立将缩小1/2，直到单调性满足为止。如果找不到下山因子使得单调性成立，则下山失败，这时需要另找初值x0,牛顿下山法计算步骤：,1. 选取初始值x0，下山因子=1，精度1，2 和3 ，令k=0,转2。,2. 进行迭代： ，计算f (xk+1)，转3。,3.(1)若 ，则当 时，取 ， 停止；当 时，令 , 转2。 (2)若 ,则当 时，取 ， 停止；否则若 且 时，令 为充分小的正数)，转2。当 且 时， 令 ，转2。,例：求方程f (x) = x3 x 1 = 0 的根,牛顿下山法的计算结果：,牛顿迭代
13、法每迭代一次除计算函数值 外，都需计算导数值 ，计算量比较大；且迭代过程中计算 时，仅利用了 点的信息，而没有充分利用已经求出的 ；在导数计算比较麻烦或难以求出时，一个自然的想法就是在充分利用“旧信息”的同时，设法避开导数值的计算，因此可以采用弦截法,迭代格式构造,(2) 构造方法：将Newton迭代格式中的导数用差商代替。,2、弦截法,(1) 构造思想：用割线的斜率代替牛顿迭代法中切线的斜率；,弦截法的几何意义,切线斜率割线斜率,（初值 x0 和 x1 ）,弦截法的局部收敛性与收敛速度,设 ,且 在 的某一邻域 内二阶连续可微，当 时，由弦截法产生的序列 收敛于 ，且收敛阶至少为1.618。
14、,5 非线性方程组的数值解法,一、 非线性方程组的牛顿迭代法,则上述非线性方程组可简写为,其中 ，且 中至少有一个是 的非线性函数。若记,(1) 构造思想：用线性方程组近似非线性方程组，由线性方程组解得的向量序列逐步逼近非线性方程组的解向量。 (2) 构造方法：类似于 的情况，可将单变量方程求根的方法推广到非线性方程组。若已给出方程组的一个近似根 ，将函数 的分量 在 处用多元函数泰勒展开，并取其线性部分可表示为,（5.5.1）,令上式右端为零，得到线性方程组,（5.5.2）,称为 的Jacobi矩阵，求解线性方程组（5.5.2），并记解为 .,这就是解非线性方程组(5.5.1)的Newton
15、迭代法。Newton迭代法具有二阶的收敛速度，但对初值的要求很高，即充分靠近解 。,其中,历史与注记,艾萨克牛顿（Isaac Newton 16421727） 牛顿是英国物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家。1643年诞生于英格兰林肯郡乌尔索普镇。1727年卒于伦敦。1665年他发现了二项式定理，1669年担任卢卡斯讲座的教授，1696年牛顿任造币厂监督，1699年升任厂长,1705年因改革币制有功受封为爵士，1672年起他被接纳为皇,家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世。,牛顿是有史以来最伟大的科学家之一，他在力学、数学、光学、热学、天文学和哲学方面都有突出的贡献。他在数学方面
16、的贡献为：牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），与此同时，他还在1676年首次公布了他发明的二项式展开定理。并和G.W.莱布尼茨几乎同时创立了微积分学。牛顿在数值计算上的主要贡献有：牛顿插值法、牛顿积分法、牛顿迭代法等。,关于特殊的非线性方程求根问题的迭代法最早出现在古希腊、巴比伦和印第安人的著作中。牛顿法的只有一部分属于牛顿本人，1669年牛顿第一次提出了与现在牛顿法基本等价的方法，但令人惊讶的是该方法并没有使用导数，而是基于二项展开式，因此只适用于多项式。1690年，拉弗森对牛顿法作了简化和改进，称为牛顿拉弗森法。在牛顿法中使用导数
17、是由辛普森1740年首次提出的，并将其从一维空间推广到多维空间，这才是现在所称的牛顿法。1798年，拉格朗日提出了牛顿法简单而精巧的表达式，并在1831年由傅立叶作了推广。非线性方程组的大多数方法都采用了牛顿法的设计原理，并以牛顿法为度量标准。“牛顿法”以成为将不同类型非线性方程组局部线性化的一个经典范例。关于一维非线性方程组的解法的经典方法的详细资料可参考文献1,2,3，若想进一步了解近期的研究成果可参考文献4,5,参考文献,1 J. F. Traub. Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall, Engle
18、wood Cliffs, NJ, 1964.2 A. M. Ostrowski. Solution of Equations and Systems of Equations. Academic, New York, 2d edition, 1966.3 A. S. Householder. The Numerical Treatment of a Single Nonlinear Equation. McGraw-Hill, New York, 1970.4 C. T. Kelley. Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia, PA, 1995.5 W. C. Rheinboldt. Methods for Solving Systems of Nonlinear Equations. SIAM, Philadelphia, PA, 2d edition, 1998.,
