本章研究的对象是n阶线性代数方程组,在自然科学和工程技术中,许多问题的解决常常归结为线性代数方程组的求解。,例如:电学中的网络问题;船体放样中三次样条求解问题;求解非线性方程组问题;常微分方程及偏微分方程数值求解问题等,都可归结为求解线性代数方程组。,有关线性代数方程组解的存在唯一性及解的结构等理论
第五章 非线性方程的数值解法Tag内容描述:
1、本章研究的对象是n阶线性代数方程组,在自然科学和工程技术中,许多问题的解决常常归结为线性代数方程组的求解。,例如:电学中的网络问题;船体放样中三次样条求解问题;求解非线性方程组问题;常微分方程及偏微分方程数值求解问题等,都可归结为求解线性代数方程组。,有关线性代数方程组解的存在唯一性及解的结构等理论问题,线性代数已作了详细讨论。,本书只介绍线性代数方程组的两类求解方法:直接法和迭代法。直接法是指经过有限步计算后求得方程组精确解的方法。,第五章 求解线性方程组的直接法,(1.1),若用矩阵和向量的记号来表示,若A。
2、娶课韦炔移搬许胺扳戊楚郧死既级巨刹投杀汲搁词日矿琶盎并钝贷仙滩逸第五章解线性方程组的迭代法第五章解线性方程组的迭代法第五章 解线性方程组的迭代法线性方程组虽有直接解法,但对大型组,对时间和空间要求严格。甭槽畴蕊恐强油犀质欲抚勤鲍催眶茫蕴抗蔫湘尾晕里蛙多禄荐笼问屈所挛第五章解线性方程组的迭代法第五章解线性方程组的迭代法1数值分析 主讲教师第五章 解线性方程组的迭代法n 5.1 迭代法及其收敛性 n 5.2 向 量和矩阵的范数n 5.3 迭 代过程的收敛性痴廊吃瘸僧罚东烦疚勉莱威鼻莽额岔腿框揽欺埠砂糖演古炔羚蝉亚苦闭表第五。
3、第五章 解线性方程组的直接法,5.1 引言与预备知识 5.2 高斯消去法 5.3 高斯主元消去法 5.4 矩阵三角分解法 5.5 向量和矩阵的范数 5.6 误差分析,5.1 引言与预备知识,自然科学和工程技术中有很多问题的解决需要用到 线性方程组的求解。这些线性方程组的系数矩阵大致可分为两类。 1)低阶稠密矩阵 2)大型稀疏矩阵解线性方程组的数值解法有直接法和迭代法两类 预备知识 1)向量和矩阵的定义 2)矩阵的基本运算 3)特殊矩阵 4)四个基本定理 向量和矩阵的定义用 表示全部 实矩阵的向量空间;,5.1 引言与预备知识,用 表示全部 复矩阵的向量空间。
4、第五章线性方程组的直接解法 5 1引言与预备知识 5 2高斯消去法 5 3高斯主元素消去法 5 4矩阵的三角分解法 5 5向量和矩阵的范数 5 6误差分析 5 7矩阵的正交三角化及应用 5 1引言与预备知识 返回 线性方程组的数值解法 向量。
5、1,1,信 息 学 院,数 值 计算,北 京 物 资 学 院,第二章 一元非线性方程的解法,2,2,第二章 一元非线性方程的解法,3,3,信 息 学 院,数 值 计算,北 京 物 资 学 院,方程根的数值计算大致可分为三个步骤: (1)判定根的存在性 (2)确定根的分布范围 (3)根的精确化,零点定理,1.描图法,2.搜索法,2.搜索法(以步长h进行),2.1 引例及问题综述,1.二分法,2.迭代法等,4,4,2.2 二 分 法,5,5,2.2 二 分 法,6,6,2.2 二 分 法,7,7,2.2 二 分 法,用函数jxeff(a,b,tol)演示,结果满足允许的误差tol=1e-005. 最终结果: x1.308921813965,8,8,2.2 二 分 。
6、第七章 非线性方程与方程组的数值解法,引言在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类问题是非线性方程f(x)=0 (5.1) 的求根问题,其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点 如果f(x)可以分解成 ,其中m为正整数且 ,则称x*是f(x)的m重零点,或称方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m1) 当且仅当,记笔记,当f(x)不是x的线性函数时,称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数,则称为代数方程,否则称为超越方程(三角方程,指数、对数方程等)。一般称n次多项式构。
7、第五章 线性方程组求解的数值方法,5.1 Gauss消去法与矩阵的LU分解,5.2 Cholesky分解,5.3 向量范数与矩阵范数,5.4 古典迭代法的构造,5.5 迭代法的分析,5.6 超松弛迭代(SOR)及分块迭代方法,5.7 线性方程组的条件,线性方程组求解的数值方法,5.1 Gauss消去法与矩阵的LU分解,基本思想:用逐次消去未知数的方法把原方程组化为三角形方程组再求解 。 消元:用初等变换将原方程组的系数矩阵化为三角形矩阵(简称三角阵)再求解的方法。 回代:解出三角形方程组的最后一个方程,将求得的值逐步往前一个方程代入的方法。,消元,为什么选主元,避免方。
8、1,五 方程求根,2,方程求根,方程求根概述 根的隔离 二分法 迭代法的基本概念 迭代过程的收敛性 迭代法的收敛速度及加速处理 牛顿迭代公式 牛顿迭代法的收敛性及收敛速度 牛顿迭代法的初值选取,3,引言,科研工作或生产实践中遇到的数学问题,常常需要求解一元(单个变量)的方程(或方程组),当 f (x) 为一般连续函数时,称上式为超越方程 若 f (x) 不是 x 的线性函数,则称上式为非线性方程 特别地,如果 f (x) 为某个 n 次多项式 pn(x),称上式 n 次多项式方程或代数方程 方程的根 x* 又称 f (x) 的零点,它可以是实数,也可以是复数,我们。
9、第五章线性方程组的迭代解法 第二节基本迭代方法 第三节迭代法的收敛性 第四节超松弛迭代法 第一节实际问题的导入 第五节分块迭代法 求解 思路 计算精度可控 特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵的方程组 1实际问题的导入 定义1 1 对给定的方程组 如何建立迭代格式 收敛速度 向量序列的收敛条件 误差估计 2基本迭代方法 一 雅可比迭代法 写成矩阵形式 L U D 雅可比迭代阵 二 高斯 塞德尔迭代法 。
10、1.4 Newton-Raphson and Secant Methods,1.4.1 Slope Methods for Finding Roots,1.4.2 The Division-by-Zero Error,1.4.3 Speed of Convergence,1.4.4 Pitfalls,1.4.5 Secand Method,1.4.6 Accelerated Convergence,。
11、第三章 非线性方程的数值解法,科学技术研究与工程实践中,经常会遇到求解非线性方 程的问题,一般归纳为求解方程其中 是一元非线性实函数。根据 是代数多项式还 是超越函数(指数函数、对数函数、三角函数等),方程分 别称为代数方程或超越方程。 次代数方程: 超越方程:,第三章 非线性方程的数值解法,对于代数方程,根的数目与方程的次数相同,不高于4 次的代数方程已有求根公式,高于4次的代数方程没有精确 的求根公式;超越方程则复杂得多,如果有解,可能是一个 或多个,或无穷多个,没有精确的求解公式。因此,需要研 究如何采用一。
12、4 牛顿法,一、牛顿迭代公式的推导(Taylor展开法),思想:非线性方程线性化(以直代曲),取 x0 x*,将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开:,, 在 x0 和 x 之间,将 (x* x0)2 看成高阶小量,则有:,令,Newton Raphson迭代格式,称之为牛顿拉夫森方法,简称牛顿法.,解:,等价于求方程 的正根,解法一:,等价于求方程 的正根,解法二:,等价于求方程 的正根,证明:Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代其中 ,则,收敛,由 Taylor 展开:,只要 ,则令 可得结论。,Th2.5,有根,根唯一,产生的序列单调有界保证收敛,证明省略。,证明省略。,注:Newtons。
13、1,7.1 方程求根与二分法,设非线性方程为 f (x)=0 (7-1),方程(2-1)的解 称为方程的根或函数 f (x)的零点。,其中m为大于1的整数,且g(x) 0,称 为方程(7-1)的m重根,或函数 f (x) 的m重零点.,若 f (x) 为n 次多项式,则称 f (x)=0为n 次代数方程 .,若 f (x) 为超越函数,则称f (x)=0 为超越方程 。,若 f (x) 可表示为,第7章 非线性方程求根,2,一、求有根区间的一般方法,若 f(x) 满足条件: (1) 在a,b内连续, (2) f(a) f(b)0 , 则 f(x)=0 在a,b 内必有根. 若 f(x) 在a,b内还严格单调,则 f(x)=0在a,b 内只有一根,据此可得求有根区间的两种方法。,3,1。
14、第五章,非线性方程求 根,1根的存在性。方程有没有根?如果有,有几个根?,2根的搜索。这些根大致在哪里?如何把根隔离开?,3根的精确化。,f (x) = 0 (5.1.1),1 引 言,1.根的存在性,定理1 设函数 f (x) 在区间a, b上连续,如果f (a) f (b) 0, 则方程 f (x) = 0 在a, b内至少有一实根x*。,定义1,如果存在 使得 ,则称 为方程(5.1.1),的根或函数 的零点。,2. 根的搜索,(1) 图解法(利用作图软件如 Matlab),(2) 解析法,(3) 近似方程法,(4) 定步长搜索法,(1)画出 f(x) 的略图,从而看出曲线与x 轴交点的位置。,(2)从左端点x = a出发,。
15、第二章非线性方程的数值解法 2 1二分法2 2一般迭代法2 3牛顿迭代法2 4弦截法 1 确定初始含根区间 数值计算方法主要分为两大类 第一类是区间收缩法 2 收缩含根区间 第二类是迭代法 1 选定根的初始近似值 2 按某种原则生成收敛于根。
16、第二章非线性方程的数值解法 2 1二分法 2 2非线性方程求解的迭代法 2 3非线性方程求解的matlab函数 历史背景 在科学研究和工程设计中 经常会遇到的一大类问题是非线性方程 f x 0 2 1 的求根问题 其中f x 为非线性函数 方程f x 0的根 亦称为函数f x 的零点 当f x 不是x的线性函数时 称对应的函数方程为非线性方程 如果f x 是多项式函数 则称为代数方程 否则称为超越。
17、第五章 非线性方程的解法,5-1 二分法 5-2 迭代法 5-3 牛顿法 5-4 正割法和抛物线法 5-5 迭代法的收敛阶和Aitken加速方法,5-1 二分法,设函数f(x)在a,b上连续,且f(a)f(b)0.根据连续函数的零点定理,方程f(x)=0在(a,b)区间内一定有一实根(这里假设方程f(x)=0在(a,b)区间内只有一个实根,区间(a,b)称为方程的有根区间).,二分法的计算步骤:用区间(a,b)的中点 平分区间(a,b)为两个区间,计算中点的函数值 ,根据 的值分以下两种情况:1. 0;取 .这时 , 是新的有根区间,落在(a,b)内.新的有根区间是原来长度的一半,即 ,用 代替(a,b)再继续上述过。