1、第二学期高等数学期末考试试卷答案第 1 页 共 9 页清华大学第二学期期末考试模拟试卷一填空题(本题满分 30 分,共有 10 道小题,每道小题 3 分) ,请将合适的答案填在空中1. 设向量 的终点坐标为 ,它在 轴、 轴、 轴上的投影依AB7,12xyz次为 、 和 ,则该向量的起点 的坐标为_47A2. 设 、 、 都是单位向量,且满足 ,则abc0cbaacba_ 3. 设 ,则 _xyz2cossinz4. 设 ,则 _ yxz25. 某工厂的生产函数是 ,已知. 当 时,),(KLfQ20,64KL;(2)当 时,劳力的边际生产率和投资的边际生产50Q20,64率为 , 。如果工厂
2、计划扩大投入到 ,则产量7Lf35Kf ,9的近似增量为_6. 交换积分顺序,有 _210,ydxfd7. 设级数 收敛,且 ,则级数 _1nuun111nnu8. 级数 在 满足_条件下收敛p1np9. 微分方程 的通解为 _xysi y第二学期高等数学期末考试试卷答案第 2 页 共 9 页10. 对于微分方程 ,利用待定系数法求其特解 时,应设其xey23 *y特解 _ (只需列出特解形式,不必具体求出系数) *y答案:1. ;0,32A2. ;3. ;xyxyxsincocs4. ;l15. 单位;27506. ;101 2,xx dyfdyfd7. ;02u8. ;1p9. ;213s
3、in6Cxx10. Aey*二 (本题满分 8 分)求过点 ,且与两平面 和 平行的直线方程3,210P12zx23zy解:所求直线 过点 ,设其方向向量为 ,l,0 s由于 平行于平面 和 ,所以其方向向量 同时垂直于向量1zx3zy与 2,1n,n第二学期高等数学期末考试试卷答案第 3 页 共 9 页因此,方向向量 可取为 ,skjikjin3210从而所求直线方程为32zyx三 (本题满分 8 分)设函数 ,其中 是常数,函数 具有连续的一阶偏导数试xyzFuk,kF求 zyx解: 22211 , xyzFxzxyzFxzkxu kkzyFkkk , 2121xyzFxxyukk ,21
4、2yzFzkk ,11所以,zuyxu第二学期高等数学期末考试试卷答案第 4 页 共 9 页 xyzFyxzFxyzFkx kk , 2121zykk ,121xzFk,四 (本题满分 8 分)计算二重积分 的值42yxdeI解:作极坐标变换: ,则有sin,cosrr2042 dedxyeI ryx11402r五 (本题满分 8 分)某工厂生产两种型号的机床,其产量分别为 台和 台,成本函数为xy(万元)yxc2),(若市场调查分析,共需两种机床 8 台,求如何安排生产,总成本最少?最小成本为多少?解:即求成本函数 在条件 下的最小值yxc,8yx第二学期高等数学期末考试试卷答案第 5 页
5、共 9 页构造辅助函数 )8(2, yxyxF解方程组 0842yxy解得 3,57这唯一的一组解,即为所求,当这两种型号的机床分别生产 台和 台时,总成53本最小,最小成本为:(万)28352)3,5( c六 (本题满分 10 分). 将 展开为 的幂级数;21lnarctxxf . 指出该幂级数的收敛域;. 求级数 的和12nn解:. 因为 ,且 ,所以,02211arctnnxx10arctn 01202021arctn nnnxnxn xdtdt而1222ln1lnnnxxx 1x第二学期高等数学期末考试试卷答案第 6 页 共 9 页所以,21lnarctxxf 12021nnn012
6、02nnn xx 0 21n n022nnnx1x. 幂级数 的收敛域为 021nnn,. 令 ,则有x1122nnn 2ln141larct2f2ln七 (本题满分 10 分)求微分方程 的通解1lnlxyx解:该方程为一阶线性微分方程 xyxln1l1第二学期高等数学期末考试试卷答案第 7 页 共 9 页因此, xPln1xQln1代入一阶线性微分方程的求解公式,有 Cdexeyxdxln1ln1lxllCdx1lnxl所以,原方程的通解为xCylnln1八 (本题满分 10 分)讨论级数 的绝对收敛性与条件收敛性1lnn解:. 因为级数 为交错级数, 由于,1ln nun1l02l12l
7、l2l1 un所以数列 单调减少而且 n 0lnimliun因此由 Leibniz 判别法知,级数 收敛1ln第二学期高等数学期末考试试卷答案第 8 页 共 9 页. 讨论级数 其前 项部分和为11lnln nkns1lnl1l3ln42l3nl2 n所以,级数 发散11lnln综上所述知,级数 条件收敛1ln九 (本题满分 8 分)设函数 具有二阶连续的导函数,而且 满足方程uf yefzxsin,yxzx22试求函数 uf解:设 ,则有yexsin,ufzxiyeufzxcos所以, fyefxxxinsin22yeufufzxxsico22第二学期高等数学期末考试试卷答案第 9 页 共 9 页代入方程 ,zeyxzx22得, zeyufyeufyufeuf xxxx 22sincossinsin 即, x22由此得微分方程 0ff解此二阶线性微分方程,得其通解为( 与 为任意常数)uueCf2112此即为所求函数