1、1北京工业大学 2017-2018 学年第一学期考试试卷 A 答案课程名称： 高等数学 A 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 页，共 大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 本试卷全部答案都写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空题（每题 3 分，共 30 分）1 2515limxx122. 设 在 处连续，则 1 2ln(),0()si
2、fxbxb3 则极限 -1 ()0,()1,faf1lim()nfa4已知 , 为自然数，则sin3yx()ny3si()2xn5 设 则 1 ,icotet0tdx6 22s(s)1x7 设 连续，则)f incosxfdx(cos)f8.已知 , 则 = 0 0(arcsxgtg（ ）9. 微分方程 的通解是1yy()xc10. 微分方程 满足条件 的解是x1y1x二、单项选择题（每小题 2 分，共 8 分）21. 函数的定义域 是（ C ）ln(2)3xyA. B. C. D. ,2(),(2,3)3,22. 设 ，则当 时， 是 的 （ B ）0)f0x(0fxxA低阶无穷小量 B同阶
3、无穷小量 C高阶无穷小量 D等价无穷小量3. 设 ，则 （ A ）sin2()4xf()dfxA B C D1cosin242cos48xC2cos4xC4. 已知 ，则 （ D ）1lim()axtxedA. 1 B. C. D. 225三、求解下列各题（每小题 5 分，满分 30 分）1. 求极限 2. 求 及xxtan1lim20 211arctn,yxdyx解： （1 分） 解：2200tlilitanxx 21rt()x（3 分） （4 分）2300tanseclimlixx 12arctnx（5 分） （5 分）20t1lix (rt)dydx3. 设 ，求 4. arcsinxy
4、ye0xd31 x解： （4 分） 解：令 ，则 （1 分）21()xy t32,tdxt3当 时， ，代人上式得 （30x1y 231 (3)1tdxtdt分）（5 分） () 2ln()ttc（5 分）1133lxx5. 6. 10arctnxd 201cosxd解： （1 分） 解：11200rtarctn2xd02（2 分）108x 0|cos|xd（4 分） （4 分）120()dx 202(cs)x（5 分） （5 分） 4 四、 （6 分）已知曲线 于任意点处的切线斜率为 ，且当 时， 为)(xfy632xa1x2y其极大值，试求曲线 ，且求函数 的极小值. )(xf解：由于 ，
5、所以 （1 分）2()36fxa32xc由当 时， 为其极大值可得 ，即 （4 分）1y1(),()0ff32a32()6fxx由于 ，当 时，3(2)1x2()0,()90ff4故 时，函数 取得极小值 . （6 分）2x)(xf8五、 (6 分) 证明：当 时， 021x证明：令 ，则 ， （1 分）2()18fx1()024f x由于 ，因此 在 上单331()() ()44()fxx()f,)调增加， （4 分） 当 时， ，从而 在 上单调增加，当 时，00)fff0,0x，()fx因此 在 上单调增加，由于 ，故当 时，有 ，即f,)()fx()fx（6 分）218x六、 （6 分
6、）设函数 满足微分方程 ，且其图形在点 处的切线与曲)(xfyxey23)1,0(线 在该点的切线重合，求 .12xy )(xf解：解特征方程 得： （2 分）230r1,r设微分方程的一特解为 ，代入原方程比较系数得： （4 分）*xyAe2A微分方程 的通解为： （5 分）y2 21xxxycee由 得： ，解得(0)1,()12,c210,c故 （6 分）xxfe七、 （6 分）求由抛物线 与直线 所围成的平面图形的面积，并求这一平面图形绕 轴yyx x旋转一周所得旋转体的体积.解 抛物线 与直线 的交点为 ， （1 分）yxyx0,1,5故抛物线和直线所围城的平面图形的面积 （3 分）
7、101d6Sx平面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体积 V= x 220()()dx= （6 分）6八、 （5 分）设连续函数 满足 ，求积分()fx2()sinfx2()sinfxd证明： （2 分）6622()sin()sifxdftdt故 6 68822 22011()i()()insinsinf fxfxxdxd （5 分）753184九、 （3 分）设 在 上连续， 内可导，且 ，证明在()fx0,1(0,1)10()() 1)xkfefdk(0,1)内至少存在一点 ，使 .()1)(ff证明：设 ， （1 分）()xFxfe则 ， ，()()1)()xxxfefef 1()Ffe因为， （2 分）110()() (0)xkefdfFk所以有 ，即 . 又因为 在 上连续， 内可导，根据罗尔定Fx,1(0,1)理可知：在 内至少存在一点 ，使 ，即 （3 分）(0,1)()0()ff
