1、二次函数及其运用 复习考点攻略（解析版）考点一 二次函数相关概念1. 二次函数：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数2. 二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）（2）顶点式：y=a（xh）2+k（a，h，k为常数，a0），顶点坐标是（h，k）（3）交点式：y=a（xx1）（xx2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a0【例1】若y=（a1）x2ax+6是关于x的二次函数，那么a的取值范围是（ ）Aa0Ba1Ca1且a0D无法确定【答案】【答案】B【解析】根据二次函数的定义，a10，即a1故选
2、B考点二 二次函数的图像和性质1二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）对称轴x=顶点（，）a的符号a0a0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=时，y最小值=当x=时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征aa0开口向上a0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab0与y轴正半轴相交c0，y1y3y2；故选A考点三 二次函数图像的平移1将抛物线解析式化成顶点式y=a（xh） 2+k，顶点坐标为（h，k） 2保持y=ax2的形状不变，将其顶点
3、平移到（h，k）处，具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式【例5】如果将抛物线y=x22向右平移3个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是Ay=x25 By=x2+1Cy=（x3）22 Dy=（x+3）22【答案】C【解析】y=x22的顶点坐标为（0，2），向右平移3个单位长度，平移后的抛物线的顶点坐标为（3，2），所得到的新抛物线的表达式是y=（x3）22故选C考点四 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1二次函数y=ax2
4、+bx+c（a0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）2ax2+bx+c=0（a0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交点的横坐标 3（1）b24ac0方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b24ac=0方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b24ac0的解集是Ax3C3x1Dx1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=1，二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（3，0），二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1，0），由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+20的
5、解集是3x0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；B、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；C、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，a0，一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；D、二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误故选：B3.在函数中，当随的增大而减小时，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】二次函数的对称轴为直线，时，随的增大而减小.故选D.4.把抛物线y=12x21先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）A
6、y=12（x+1）23 By=12（x1）23Cy=12（x+1）2+1 Dy=12（x1）2+1【答案】B【解析】把抛物线y=12x21先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为y=12（x1）23，故选B5.如图，一次函数 (a0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ） A.B.C.D.当 (n为实数)时， 【答案】 D 【解析】解：A、图象开口向上，a0，对称轴在y轴左侧， x=-0； 图象与y轴的交点在y轴上方， c0， abc0, 不符合题意； B、抛物线与x轴有两个交点， ， 即 ,不符合题意； C
7、、设图象的顶点为（1，k）, k0，则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k, c=a+k, c-a=ky1y3【解析】对称轴为直线x=2，a=10，当x2时，y随x的增大而减小，2（3.5）=2+3.5=1.5，1（2）=1+2=1，1（2）=1+2=3，y2y1y3故答案为：y2y1y315. 如图，抛物线与直线交于A（-1，P），B（3，q）两点，则不等式的解集是_【答案】或【解析】抛物线与直线交于，两点，抛物线与直线交于，两点，观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，不等式的解集为或故答案为：或16.如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：；
8、若点C的坐标为，则的面积可以等于2；是抛物线上两点，若，则；若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_【答案】【解析】解： 开口向下， a0， 对称轴x=1,a0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c0， abc4,， ，故错误 ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题，共56分）17.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是求：（1）铅球在行
9、进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m？【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为；（2）该男生把铅球推出的水平距离是【解析】（1），y的最大值为3，铅球在行进中的最大高度为（2）令得：解方程得，（负值舍去）该男生把铅球推出的水平距离是18. 已知：二次函数与一次函数（1）两个函数图象相交吗？若相交，有几个交点？（2）将直线向下平移个单位，使直线与抛物线只有一个交点，求的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1），解得，或，即两个函数图象相交，有两个交点；（2）将直线向下平移个单位，得直线，令，得，直线与抛物线只有一个交点，解得，19. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的顶
10、点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0). （1） 求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y0时x的取值范围. （2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】（1）1x0时，x的取值范围是1x3（2）解：D(0，-3)， 点D移到点A时，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+5 20. 如图，直线l：y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一
11、象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M写出点M的坐标【答案】（1）yx2+2x+3 ；（2）（3）（，）【解析】解：（1）直线l：y3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（1，0）、（0，3），抛物线yax22ax+a+4（a0）经过点B（0，3），则a+43，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx2+2x+3；（2）过点M作MHx轴于点H，设点M（m，m2+2m+3），则SS梯形BOHMSOABSAMH（m2+2m+3+3）m 31+（m
12、1）（m2+2m+3）m2+m，0，故S有最大值，当m时，S的最大值为：；（3）当S取得最大值时，此时，m，则ym2+2m+3，故点M的坐标为：（，）21. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上. （1）当m=5时，求n的值. （2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y 时，自变量x的取值范围. （3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围. 【答案】 （1）（2）1x5 ，（3）0m1或1m2 .【解析】 （1）解：当m5时，y ， 当x1时， n .（2）解：当n
13、2时，将C(1，2)代入函数表达式y ， 得2 ，解得m13， m21(舍去).此时抛物线的对称轴为直线x=3，根据抛物线的轴对称性，当y2时，有x11 ，x25.x的取值范围为1x5. （3）解：点A与点C不重合， m1.抛物线的顶点A的坐标是(m，4) ，抛物线的顶点在直线y4上.当x0时，y ， 点B的坐标为(0， ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前，m减小，点B沿y轴上向上移动.当点B与点O重合时， 0，解得 m1 ，m2 .当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与点B，D 重合，点B到达最高点. 点B的点坐标为（0，4）， 4，解得 m0. 当抛物线从图2位置继续向左平移时，
14、如图3点B不在线段OD上. B点在线段OD上时，m的取值范围是0m1或1m2 .22.如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段上运动，如图1求线段的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）；（2），存在，【解析】解：（1）把代入中，得 解得（2）设直线的表达式为，把代入得，解这个方程组，得 点是x轴上的一动点，且轴 ，此函数有最大值又点P在线段上运动，且当时，有最大值 点是x轴上的一动点，且轴 （i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，C（0，-3）MC= 整理得， ，解得，当时，CQ=MN=，OQ=-3-()=Q(0，)；当m=时，CQ=MN=-，OQ=-3-(-)=Q(0，)；(ii)若，如图，则有整理得， ，解得，当m=-1时，MN=CQ=2，Q（0，-1），当m=-5时，MN=-100（不符合实际，舍去）综上所述，点Q的坐标为
