1、高等代数课后思考题第八章 欧氏空间思考题1、设 V 是实数域 R 上的 n 维向量空间，试问：对 V 是否总可以定义内积，使 V 对此内积构成欧氏空间？2、如果向量空间 V 是一欧氏空间，那么它的任一子空间也是欧氏空间吗？为什么？3、用 表示 n 维欧氏空间 V 中向量的内积，下面的等式中哪些成立？,（1） 121212,;（2） ;a（3） 1;（4） ,;ab(5) 2,.4、已知向量空间 R3 关于内积 123,xyxy是欧式空间，也对内积123,是欧氏空间，其中 .123()(,)xy问：向量组 对此两种内积来说是12310,0,(,0)2否能分别构成正交向量组？5、设 是 n 维欧氏
2、空间 V 的一个基，问如何规定 V 的内积，使 V 对此12,内积是欧氏空间，且 是它的一个标准正交基？12,6、设 W 是欧氏空间 V 的有限维子空间，则 W 的正交补 W 存在。问：（1）W 的正交补 W 唯一吗？（2）给出两种求 W 的方法。7、在 n 维欧氏空间中，是否存在 n+1 个两两正交的非零向量？为什么？8、欧氏空间 V 的一个正交变换是否保持任意两个向量的夹角？9、欧氏空间 V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换是否是正交变换？10、欧氏空间 V 的保持任意向量长度不变的线性变换是否是正交变换？11、欧氏空间 V 的保持任意两个向量长度距离不变的线性变换是否是正交变换？12、欧氏空间 V 的保持任意两个向量内积不变的线性变换是否是正交变换？13、举例说明，两个对称变换的积不一定是对称变换。找出两个对称变换的积是对称变换的充要条件。14、若 n 维欧氏空间 V 的一个线性变换 的属于不同特征根的特征向量彼此正交，那么 一定是对称变换吗？举例说明之。15、设 是欧氏空间 V 的一个变换，且对任意 ，都有,V(),()问 是否是对称变换？
