1、114 3、 解析函数在无穷远点的性质 一 、 目的和要求 1、 充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态； 2、 掌握孤立奇点类型的判定定理 . 二 、 重难点 1、 重点 ： 作为孤立奇点的判定方法； 2、 难点 ： 判定定理的应用及概念间关系 . 三 、 教学方法与教学手段 课堂讲授法为主，结合网络教学平台的信息化教学 四 、 教学内容 （ 2课时） 定义 设 ()fz在区域 ( 0)R z R 内解析，则 称为 ()fz的孤立奇点 在该区域内有 Laurent 级数（展式） () nnnf z c z （ 1） 其中 nc 由 Laurent 系数公式决定。 令 1z w ，按照 0R 或
2、 0R ，我们的在 10 w R或 0 w 内解析的函数 1( ) ( )zfw ，其 Laurent 展式为 () nnn cw w （ 2）。 若 w=0为函数的可去奇点（ m阶）极点或本性奇点，这样 （ 1）若当 1,2,n 时， 0nc ，则称 为函数的可去奇点； （ 2）若只有有限个整数（至少有一个） n） 0，使 0nc ，则 z 为函数的极点，若 0mc ， 0nm 时， 0nc 则称 为函数的 m阶极点， m=1时称为简单极点 （ 3）若有无穷多个 n） 0，使 0nc ，则 为函数的本性奇点，并称01nnnnc z c z及为函数在 的解析部分和主要部分 . 注 （ 1）若
3、为函数奇点之聚点，就是函数的非孤立奇点 . （ 2） ()fz在 解析 ()fz 为 的 可 去 奇 点，且定义 ( ) lim ( )zf f z 115 1、 判定定理 定理 5.3 设 z 为 ()fz的孤立奇点，下列陈述等价 （ 1） z 为 ()fz可去奇点 （ 2） ()fz在 处主要部分为 0 （ 3） lim ( ) ( 0)z f z b （ 4） ()fz在 的某去心邻域内有界 定理 5.4 设 z 为 的孤立奇点，则下列陈述等价 （ 1） z 为 ()fz的 m 阶极点 （ 2） ()fz在 的主要部分为 212 ( 0 )mmb z b z b z b （ 3） ()f
4、z在 z 的某去心邻域 N 内能表成 ( ) ( )mf z z z ，其中 ()z 在 N内解析且 ( ) 0 . （ 4） z 为 (g ( )0,fzz z ） ,z的 m级零点。 1.Cor ()( ) l im ( 0 , )mzfzz f z m b bz 为 的 阶 极 点 2.Cor ( ) lim ( )zz f z f z 为 的 极 点 定理 5.6 z 为 ()fz的孤立奇点，则下列陈述等价 （ 1） z 为 ()fz的本性奇点 （ 2） ()fz在 z 的主要部分有无穷多个非零项 （ 3） 不存在有限或无穷的极限 lim ( )z fz 注 上节中定理 5.7到定理
5、5.9对 z 的本性奇点也真 例 1 z 为 1ze 的可去奇点； z 为 n 此多项式的 n 阶极点； z 为 cosz ， sinz 的本性奇点。 例 2 判断下列函数孤立奇点的类型（含 ） （ 1）231( 4)z （ 2） 1zze （ 3） 21-coszz （ 4） 1 1zzee 解 （ 1）易知 2z 为其三阶极点（两种方法） 32( 2) ( )()( 2)z f zfzz ， z 为可去奇点（ lim ( ) 0z fz ）。 116 （ 2）其孤立奇点为 0或 。 法二 由于 1 0( )2nznni 有 1 12 1( )n nz z nie e n ， 1 02nz
6、n i i有 1 12 1n nz z n i iee ()n ， 故 10limz zz e不存在 ；即 0z 为其本性奇点 同理 取 2rz ni 及 2nz n i i 易得， 也为本性奇点 法一 用展式 （ 3）当 0z 时， 1 cos 0z，故 z=0非其二阶极点， 2001 c os sin 1lim lim 22zzzzzz 0z 为其可去奇点 又 22 01-cosz ( 1)(2 2)!nnnzzn 故 z 为其本性奇点 （ 4） 因为 2kz k i 为 1ze 的简单零点， 故 kz 为 11zzee的简单极点 ， 又 2kz k i ()k 故 z 为非孤立奇点 （
7、5） 723( 1) ( 5)zzz 解 易知 1z 为其二阶极点 5z 为其三阶极点 72 2 31lim 1( 1) ( 5 )z zz z z 故 z 为其二阶极点 例 3 求多值函数 zaLnzb 的第 k支在 某去心邻域内的 Laurent展式 解 ln 2Lnz z k i()k 考虑主支 lnzazb ， 且 z 不是其支点 ，故在117 的邻域 max ,z a b 内解析， ln ln( 1 ) ln( 1 )z a a bz b z z 11= ( ) ( )nnnnabn z n z1 1nnnn banz 1(ln ) 22nnk nz a b a n kiz b n
8、()k 例 4 问 1sec 1z 在 z=1的邻域内是否解析 解 易得 : 1 11()2kz k 为 1sec 1z 的一阶 奇点且 1( )kzk ，故 1z 为非孤立奇点 ， 不能展成 Laurent 级数（题改条件下） 例 5 若 ()fz在 0 z a k 内解析且不恒为 0，又若 f(z)有异于 a但却异 a为聚点的零点，证 a必为 ()fz本性奇点。 证明 （穷举法）由题可知 za 为 ()fz的孤立奇点 （ 1） 若 z=a为 ()fz可去奇点，则 在 z aR 内，令 ( ) 0fa 解析且以 a为非孤立零矢 ( ) 0fz。 （ 2） 若 a 为 ()fz极点，则 lim ( )zafz ， lim ( ) 0zafz 从而 z=a 为 ()fz的本性奇点（据解析函数孤立奇点特征，可区分为两种最简单的解析函数族）。 五 小结 奇点的类型与判定 六 作业 2124(1)P ， 6, 8（ 1）（ 4） 七 预习要求 预习并回答 1、 整函数分为几类 ？ 2、 亚纯函数与有理分式函数有何关系？ 八 后记 参教文献 1、 5、 6.
