1、 知识点：数值微积分方法的引入 知识点内容分为两部分： 引入数值方法的必要性 由基本的微分与积分例子引入，微积分的解析解法适用范围有限，工程中应用更广泛的是数值方法.在微积分的解析解法基础上引入数值方法的必要性. 引入数值求积方法 针对定积分问题，由定积分的几何意义引入数值求积方法：矩形方法、梯形方法，进而引入机械求积公式. 为插值型积分的原理作出铺垫. 第6章 数值积分与数值微分 6.1 引言 图7-1 波形屋顶 波形屋顶平材的长度：一个波形屋顶是通过将一张平的铝材料压成横断面具有正弦波形式的材料而构造出来的.现在需要一个48英寸长的波形屋顶，每个波的高度均离开中心线1英寸，每个波的周期大约
2、为2 英寸.求原来平材的长度问题为给定 xxf sin)( （从 0 x 英寸到 48x 英寸），确定此曲线的长度.根据微积分理论，此长度为 dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 ， 从而这个问题归结为求数值积分问题. 人口相对增长率：已知20世纪美国人口统计数据如下表， 表7-1 20世纪美国人口统计数据（610 ） 年份 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 人口 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 为了计算表中这些年份的人口相对增长率
3、，记时刻t的人口为 )(tx ，则人口相对增长率为)(/)(txdtdxtr ，它表示每年人口增长的比例.从而这个问题归结为求数值微分问题. 类似上面问题，在许多实际工程中，直接或间接地涉及计算导数和计算定积分.有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和微积分计算有关.在微积分学里，导数和定积分的计算与 )(xf 的形式及性态有关. 根据微积分基本定理，可以利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分 baaFbFdxxfI )()()( ， 其中 )(xF 为被积函数 )(xf 的原函数.但是实际使用这种求积方法往往有困难，例如，积分10sindxxx就无法用牛顿莱布尼兹公式计算.大量的被积函数找不
4、到用初等函数表示的原函数；有时原函数能找到，但表达式复杂，无法用初等函数表示；当 )(xf 是由测量或数值计算给出的一张数据表时，微积分理论无法精确求积分，也无法精确求导数.因此有必要研究积分的数值计算问题. 对于计算导数的问题，从导数定义想到用差商近似的算法，即 hxfhxfxf)()()( . 虽然这种近似计算的精度较差，但是它启示我们可以用两个点上的函数值来近似求导，如果用有限个点上的函数值，能否建立一个求导公式并估计误差呢？这是数值微分研究的问题. 对于计算定积分的问题，根据积分中值定理：存在点 , ba 使 baabfdxxf )()( . （7.1） 图7-2 矩形公式几何意义 图
5、7-3 梯形公式几何意义 从几何方面看，公式（7.1）表示以区间 , ba 的长度为底而高为 )(f 的矩形面积，恰等于 )(xf 在 , ba 上的积分值，即曲边梯形的面积，见图7-2.问题在于的具体位置一般 是不知道的，因而难以准确算出 )(f 的值. )(f 称为区间 , ba 上函数的平均高度，只要对平均高度 )(f 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.如果近似地取)2()(baff ，则公式（7.1）称为中矩形公式(Midpoint Rule) baabbafdxxf )(2()( . 如果近似地取 )(f = 2/)()( bfaf ，则公式（7.1）称为梯形公式，几何意义
6、见图7-3. babfafabdxxf )()(2)( . 由此得到启发，如果取 , ba 上有限个节点kx 的函数值 )(kxf 的加权平均值为 )(f ，则公式（7.1）称为机械求积公式 bankkkxfAdxxfI0)()( . （7.2） 其中kx ),1,0( nk 称为求积节点，kA ),1,0( nk 称为求积系数.kA 仅仅与节点kx的选取有关，而不依赖于被积函数 )(xf 的具体形式.下面需要研究如何安排求积节点kx 的位置并确定求积系数kA ，才能使求得的积分值具有预先给定的任意的精确度？以及怎样估计数值计算的误差？ 数值积分与数值微分(Numerical Integration and Differentiation)的基本内容：寻找便于数值计算，又能满足精度要求的微积分公式和方法.
