1、线 性 代 数 张保田,第五章 向量空间,第五章 向量空间,向量空间是线性代数的一个基本概念,在第四章介绍了n 维向量和向量的线性关系，本章将介绍向量空间的概念，讨论向量的内积、正交和施密特正交化方法。,定义1 设V是n维向量的非空集合,如果集合V对向量加法和数乘运算封闭,即对,一、 n维向量空间, 向量空间介绍,并且满足向量线性运算的八条运算律：,+=+ +(+)=(+)+ = +(-)= k(+)= k+k(k +l)=k+l(k l)=k(l) 1=,则称集合V 为向量空间。,例如：, 全体n维向量的集合构成了一个n维向量空间,记为： Rn,二、Rn的基与坐标,1.基,定义2,在Rn中，
2、称任意 n 个线性无关的,为Rn的一组基。,显然，Rn的一组基就是Rn的一个极大无关组。,称为标准基或自然基。,向量,例如，基本单位向量组,是Rn的一组基，,再如，向量组,为R3的一组基。,2.向量的坐标,定义2.17 设a1,a2, ，an为Rn的一组基，则对于,任意a Rn， a可表示为a1,a2, ，an的线性组合，,即存在实数x1, x2, ，xn，使,a=x1a1+ x2a2+ +xn an,且表示式唯一。,称组合系数 x1, x2, ，xn为向量,称组合系数 x1, x2, ，xn为向量a在基,a1,a2, ，an,下的坐标，记作（x1, x2, ，xn）。,例如，向量,在标准基,
3、下的坐标为：,恰为分量。,5.4 Rn的内积和标准正交基,内 容,复 习, 数量积（内积或点积）：, 长度（模）：, 夹角：, 垂直：, 平行,对应分量成比例。,一、内积及其性质,1. 内积的定义,定义1,设有n维向量,称实数,为向量与的内积，记为,或, 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是,一个实数。,当向量为行向量时，内积为：,2.内积的性质,(1),(2),(3),(4),当且仅当a =0时，a ,a=0.,由(2)，(3)可知：,（5）,例1,设,求,解,是否有意义？,定义2 对n维向量,称实数,为向量,度(或模，范数)，记为,的长,(1) 非负性：,(2) 齐次性：,对任意n维向
4、量,有,即,证明：(略),对任意常数t，设,内积不超过长度之积,等号成立的充要条件是a与b线性相关。,于是，,即,(4) 三角不等式：,证明：,当等号成立,如,都是单位向量。,4单位化向量,对任一非零向量a , 称向量,单位化向量。,为向量a的, 单位化向量一定是单位向量，,即,如向量,单位化得：,当向量a与b满足,定义,为向量a与b的夹角。,等价于,四、正交向量组,则称向量a与b相互正交. 记作, 零向量与任何向量都正交。, 若, n维单位向量组,两两正交。,定义4 若n维向量组,不含零向,量，且,该向量组为正交向量组.,如果,都为单位向量，则称,该向量组为（标准）正交单位向量组。, n维单
5、位向量组,向量组。,为标准正交,定理1 若n维向量,为正交向量,组，则,线性无关.,证明 设有数,使,等式两边用a1作内积，得,即,，因为,，所以，k10；,所含向量个数 n ；,所以，向量组,同理可证明：,线性无关。,下面介绍由线性无关的向量组构造等价的正,交向量组。,定义5 设,中有n个向量，,中任两个向量都正交；,空间，一个极大无关组就是一个基。,满足：,则称,为Rn的一个标准(规范)正交基.,向量组,又如，n维单位向量组, 非零向量组,基的充要条件是：,是一个标准正交,施密特（Schimidt）正交化方法：,设向量组,线性无关，是向量,空间Rn的一个基，构造Rn的等价标准正交基可分,(
6、1) 正交化：令,为两个步骤：,设b2=a2+kb1,由b1 B2内积为零得：,则容易验证，,两两正交，且,并且，对任意的k(1kn)，有,由构造可以直接验证。,则,是单位正交向量组，也是Rn的,一个标准正交基。,施密特(Schimidt)正交化过程可将任一个线性无关的向量组化为等价的标准正交向量组。,（2）单位化，令,解,施密特正交化过程把这组向量标准正交化.,设,（1）正交化，取,试用,（2）单位化,令,即为所求.,解,设所求向量为x，则 （x,1）=0,即,例2,基础解系为,1， 2， 3即为所求.,如： n阶单位矩阵E为正交矩阵；,为正交矩阵。,（1）A为正交矩阵的充要条件,（2）A为正交矩阵，则,（3） A为正交矩阵，则,（4） A为正交矩阵，则,（k为正整数）均为正交矩阵；,阵的和、数乘不一定为正交矩阵。,证明 设,其中,是A的列向量组，,则,即,所以，,为规范正交向量组。,为正交矩阵可类似证明A的行向量组,由,也为规范正交向量组。,例3 判别下列矩形是否为正交阵.,解,所以不是正交矩阵。,【完】,
