1、第 14 讲 伴随矩阵 .X求X 是 满 足1 1 11 1 1 ,31 1 1A是设 阶 矩 阵1 2 3 ,A A XX 的等 阶式 矩 阵14.1题2.X A A I X A 1 2,X A A X A在 等 式 两 边 右 乘 矩 阵得 到= | | ,A A A I因 为4 2 ,X X A I ( 4 2 ) .X I A I即| | 4 ,A 并 且解,因 此(1)( 1 )所 以 由 等 式 可 以 得 到1( 4 2 )X I A 12 2 2= 2 2 22 2 21 / 4 1 / 4 00 1 / 4 1 / 4 .1 / 4 0 1 / 4 14.2题 4 B 的 伴
2、设 阶 实 矩 阵 随 矩 阵 为.Y求 矩 阵11 3,B YB YB I如 果1 0 0 00 1 0 0.1 0 1 00 3 0 8B | | 8,B 因 为4 . 2 ,所 以 由 命 题 可 知1 1 .|BBB,矩 阵解 .B 所 以 是 可 逆 矩 阵B于 是 也 是 可 逆并 且3| | | | 8.BB 4,B为 是因 阶 矩 阵,B 是又 因 为 实 矩 阵| | 2 .B 所 以 由 此 可 得1 11 .| | 2B B BB 1 1 13,B Y B Y B I B 在 等 式 两 边 左 乘得 到,B右 乘1 3.Y B Y I于 是1 3.2I B Y I113
3、 2Y I B6 0 0 00 6 0 0.6 0 6 00 3 0 1 ,因 此,nA设 是 阶 矩 阵1| ( 3 ) | .A n A求,AA 是 的 伴 随 矩 阵1| | ,A n14.3题111| | .A A A An .A所 以 是 可 逆 矩 阵解1| | 0,An因 为 4 . 1 ,根 据 命 题,于 是1 1 1 11 1 2( 3 ) .33B A n A A n A An 1( 3 ) .B A n A令12|3BA12 |3nA 2( 1 ) .3nnnn ,因 此2,n 设 是 正 整 数r ( ) 1.A 证 明14.4题 .A n是 阶 矩 阵如 果1( )
4、,r Anr ( ) 1 ,An因 为 于 是 d et 0 .A 所 以因 为d e t 0.AA A I 12, , , .nAn 设 的 个 列 为12, , , 0 ,n AX 都 是 齐 次 方 程 组所 的 解以 即12, ( ) ., n N A证 明1 2 1 2( , , , ) ( , , , ) ,0nnA A A A AA 12r ( ) r , , , nA 于 是d im ( )NAr ( )nA( 1 )nn 1.r( ) 1.A 0.A 于 是4 . 5 ,所 以 根 据 定 理 1An 中 存 在 阶.非 零 子 式 由 此 可 得,因 此r( ) 1.A r ( ) 1 ,An因 为 2,n 设 是 正 整 数,因 此说 明.A n是 阶 矩 阵),r( An如 果 0.| |A 那 么 1|A A A于 是r ( ) .An )1r( ,An如 果 1.An 的 所 有 阶么 子 式 都 等 于 零那0.A 于 是 ,因 此 r ( ) 0.A (1) 是 可 逆.矩 阵(2)
