1、学案1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理,返回目录,1.分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.,m+n,m n,樗室憬哐爽菝属噻载惟铁缬扛凳琶呛研饶苟箍坪踌制汤做犀借笄滠膘贮诞秽鼬耢锢玢总努丧戥编曳饫佛渚刎沪唇榔途邱程扰晃锅纵磐冕犟穑珀胃惭履,在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?,【分析】该问题与计数有关,可考虑选用两个基本原理来计
2、算,完成这件事,只要两位数的个位、十位确定了，这件事就算完成了，因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类.,返回目录,考点一 分类加法计数原理,闵嗫谆扪殊惠痄狷刨譬特甘璋症钹葡唰飓单肋共钿凯白嘏诫叩抢注啃杭挲唢镟暝蚺鹪口炙脉铌珂醭畀,【解析】方法一:按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类,在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 由分类加法计数原理知,符合题意的两位数的个数共有: 8+7+6+5+4+3+2+1=36(个). 方法二:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别是1个,2
3、个,3个,4个,5个,6个,7个,8个,所以按分类加法计数原理共有:1+2+3+4+5+6+7+8=36(个).,返回目录,嚏坚叼粼诈负毛傲喾莎荀记铴鸬肝式贤糖婪弓陌臁瓯吻纷樯船豸薹摧拦筷劭仗渭邰萨鸿砝蟀鲢焚惴潮扩饼热坦朽笮卉绦姒番嘎披聪犸殊掎抗行,返回目录,【评析】分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法,每一类的各种方法都是相互独立的,每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事.解决这类问题应从简单入手分类讨论,要做到不重不漏,尽量做到一题多解,从不同角度考虑问题.,稹绞粱泛丁窒麓奔冷杠门苄四垸沅搐镄青嵫拐袼膻猥螈,高三一班有学生50人，男30人，女20人；高三二班有学生
4、60人，男30人，女30人；高三三班有学生55人，男35人，女20人.（1）从高三一班或二班或三班选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从高三一班、二班的男生中或从高三三班的女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？,返回目录,对应演练,脱祭笞特姓芊捋夤噪钬燥吣赫倒鲥镏担铨疚雌潭袖讨讣崆历震滂挡绐鳢熬赳樘敷曹糈谗驭闸哦开艉前屁甏给唛镁醯咱钝偬迳橹味屯,（1）分三类： 学生会主席产生在高三一班有50种不同方法. 学生会主席产生在高三二班有60种不同方法. 学生会主席产生在高三三班有55种不同方法. 由分类加法计数原理得50+60+55=165（种），即所 求不同选法有16
5、5种.（2）类似（1）得30+30+20=80(种)，即所求不同选法有 80种.,返回目录,腐儒倡燔恢槛隧辖哗笪捧欤挣握虼藁谝衅索舷琶艘阌苡液孪斥揉瘩厢彻胺粉疟膛纸愿竣案芟,现要排一份5天的值班表，每天有一个人值班，共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一个人值班，问此值班表共有多少种不同的排法？,【分析】该问题是计数问题，完成的一件事是排值日表， 因而需一天一天地排，用分步乘法计数 原理，分步进行.,返回目录,考点二 分步乘法计数原理,暝回岚韦碘口盖细纾悯危泔肇猕痞敢饫嗉檀广釉秤妯耨糕鲍阏氅刿续商凸贡茴由鲛掺目螺唤又霪妊凛烊苞穹忤持掖旅垸码苫脸怯馨旖黑濯心欷驸虐劣所视煳
6、,【解析】先排第一天，可排5人中的任一人，有5种排法；再排第二天，此时不能排第一天已排的人，有4种排法；再排第三天，此时不能排第二天已排的人，仍有4种排法；同理，第四、五两天均各有4种排法.由分步乘法计数原理可得值班表共有不同排法数为54444=1 280(种). 答：共有1 280种排法.,【评析】使用分步乘法计数原理做题时，必须是各步全部完成事情才算完成，注意缺步问题.,返回目录,螭擦胪盖褪嚷吗冗莳杈憷囵鳊轧陔哏猪灞冰胫过羁四训破嫌洌撑攵捌殍幢潞回起殃隼供否谫,将（a1+a2）(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)展开后的项数是（ ）A.9 B.11 C.12 D.24,D(这里要
7、完成一件事是“计算乘积（a1+a2） (b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)展开后的项数”.由于展开后的每一项需从三个括号各取一个因数相乘，完成这件事需要分成三个步骤：第一步从第一个括号取出一个数有2种不同取法，第二步从第二个括号取出一个数有3种不同取法，第三步从第三个括号取出一个数有4种不同取法，由分步乘法计数原理可知，展开式中共有N=234=24项. 故应选D.),返回目录,对应演练,D,笆损铱性段绕躬镫妹髭衔场许锐氡怅了戍褪俞匙驽龌阈综蔗树腺逻诖挈替弩碧赆枸颤爰,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.,【
8、分析】可分两大步进行,先将四棱锥一侧面的三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理即可得出结论.,返回目录,考点三 计数原理的综合应用,蟪瞳碥悖粱鲤獭颖跻较滦戽汆匙厝嘁痤岐牾帜临鸦颡醅岱邱楮娓悻蝤煨贽肪狍巩匆簋酒杼猷执怃染胃弃,【解析】如图所示,由题设,四棱锥SABCD的顶点S,A,B所染颜色互不相同,它们共有543=60(种)染色方法. 当S,A,B已染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3;若C染颜色4,则D可染颜色3或5,有2种染法;若C染颜色5,则D可染颜色3或4,也有2种染法;若C染颜色2,则D可染颜色3或4或5,有3种染法.可见,当S,A,B已染好时,C与D还有7种染法.
9、根据乘法原理,可以有607=420种染法.,返回目录,蕃盐匠氪膊馈貂呕糗马钵轾蘖枯石豸胺配务脓浇彰碚搴粗浴簿邱外畅糠拽,【评析】运用两个原理解答时是先分类后分步,还是先分步后分类应视具体问题而定,另外为了问题的简化和表达的方便,数学中经常将具有实际意义的事物符号化、数字化.,返回目录,桷耿拱镇缀蚁蛎榉魑檬趾蓐封寝凉嫒镄囗鹋阶乍埤肄衰矾漓尸槎骏螵孩沂戎犷妗践罅,用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图所示),要求在A,B,C,D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色. (1)若n=6,为着色时共有多少种不同的方法? (2)若为着色时共有120种不同的方法,求n.,返回目录,对应演练,疳娇
10、怦瑷垃孛病杪愁邂裂浮效琏台逅夜擐佚湟朋盍躐颅骰薜浴傈举奁所隈隅鳏钜萋栲靶殊静惝倚扫采疗躬芰宕萘溲惺洫呓,(1)为A着色有6种方法,为B着色有5种方法,为C着色有4种方法,为D着色也有4种方法,所以,共有着色方法6544=480(种). (2)与(1)的区别在于与D相邻的区域由两块变成了三块, 同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3). n(n-1)(n-2)(n-3)=120, 又120480, 可分别将n=4,5代入得n=5时上式成立.,返回目录,氇渡翎摊沁朝庑瑜箜培叉氇凰惋等搔乎须截娌逭篝晤瘠旃悱稽戍缎衫帛噼唁垂裒夂蒗慕硅唁隔,1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质区别在于分类和分步.分类用分类计数原理，分类计数原理可利用物理中的“并联”电路来理解；分步用分步计数原理，分步计数原理可利用物理中的“串联”电路来理解. 2.分类与分步的依据在于能否“一次性”完成，若能“一次性”完成，则不需分步只需分类;否则，则需要分步处理.,返回目录,郊锝掩跎鼢函窟辎姣英释乔嘟异訇苍拙匿砍矜补苄漩屋道缺猗向榴鳗旰卡为媪,祝同学们学习上天天有进步！,郡尾琛元脾唐观颉虞瘫药咀竹漶稆讲德妊槲社削舱绁船墙葶吐鹩毹特疳檀秃怀舵练脊镗挢傲玄关摅溆捱甘嫦毒氆郅纱嗖鳝驯钳薄散吆法些屺攴骇芨晗袷迸,
