1、1教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2 .教学重点：了解反证法的思考过程、特点3. 教学难点：反证法的思考过程、特点4教具准备：与教材内容相关的资料。5教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。6教学过程: 学生探究过程：综合法与分析法(1)、反证法反证法是一种
2、间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法( 结论的反面只有一种) 与穷举反证法 (结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在 /不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大( 小)于；都是/不都是；至少有一个 /一个也没有；至少有 n 个/至多有(n 一 1)个；至多有一个/至少
3、有两个；唯一 /至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。上，都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立） ，经过正确的推理，最后得出矛盾
4、，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ) .例 1、已知直线 和平面，如果 ，且 ，求证 。,ab,ab|ab|证明：因为 , 所以经过直线 a , b 确定一个平面 。 | 因为 ，而 ，所以 与 是两个不同的平面因为 ，且 ，b所以 . 下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点假设直线a 与平面 有公共点 ，则 ，即点 是直线 a PbP与 b 的公共点，这与 矛盾所以 . |b|点评：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： ,/aba例
5、 2、求证： 不是有理数分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法假设 不是无理数，那2么它就是有理数我们知道，任一有理数都可以写成形如 （ 互质， ”mn, *,ZnN的形式下面我们看看能否由此推出矛盾证明：假设 不是无理数，那么它就是有理数于是，存在互质的正整数 ，使得2 ,m，从而有 , 2mnn因此， ，2所以 m 为偶数于是可设 ( k 是正整数） ，从而有2m，即4k2所以 n 也为偶数这与 m , n 互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而 是无理数正是 的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大
6、推动了数学前进的步伐。例 3、已知 ，求证： （ 且 ）0banbaNn证明：假设 不大于 ，即 或 .nna0，b0由 ()n(注：应由学生讨论回答上述步骤转化的目的是什么?)ab( 推理利用了不等式的传递性).又由 nba但这些都与已知条件，ab0 相矛盾. 成立.例 4、设 ，求证23.2b证明：假设 ，则有 ，从而.)1(6816,8223ba因为 ，所以 ，这与题设条件 矛盾，所以，原)(3ba23ba不等式 成立。例 5、设二次函数 ，求证： 中至少有一个不小于qpxf2)( )(,)1(ff.21证明：假设 都小于 ，则)3(,)1(ff 2（1 ）.2)(f另一方面，由绝对值不
7、等式的性质，有（2 ）)39()4()1(1qpqpqpffff（1 ） 、 （2 ）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。 议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？巩固练习：第 83 页练习 3、4 、5、6课后作业：第 84 页 4、5、6教学反思：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个
8、假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法( 结论的反面只有一种) 与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3) 结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在 /不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大( 小)于；都是/不都是；至少有一个/ 一个也没有；至少有 n 个/至多有(n 一 1)个；至多有一个/ 至少有两个；唯一 /至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的
9、过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。虽然分析法和综合法的解题思路是相反的，但在实际解题过程中，分析法和综合法是相互联系的。用分析法思考的时候，要注意应用题里的已知条件，哪两个数量配合可以解决什么问题，以便提出恰当的中间问题；用综合法思考的时候，要注意应用题最后要解决的问题，以便使新的已知条件成为解决最后问题的需要。因此，分析中有综合，综合中分析，解答应用题时，两种方法要结合使用。1设 0 1, (2 b)a1, (2 c)b1,则(2 a)c(2 b)a(2 c)b1 又因为设 0 0，且 x + y 2，则 和 中至少有一个小于 2xy反证法：设 2 ， 2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。13设 0 , (1 b)c , (1 c)a ,4441则三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 6又0 a, b, c 1 4121(0同理： , 4)(4)c以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 与矛盾641原式成立
