1、第 5 章 刚体力学基础第 5章 刚体力学基础 的内容5.1 质点的角动量和角动量定理5.2 质点系的角动量定理5.3 角动量守恒定律5.4 刚体转动的描述5.5 转动惯量5.6 转动定律5.7 定轴转动的角动量守恒定律5.8 转动中的功和能5.6 转动定律1. 对转轴的力矩刚体绕固定轴 Oz旋转，力 作用在刚体上 P点，为由 O点到力的作用点 P的径矢 . Fr() zM r F r r F r F M = = + = +则 对定点 O点的力矩：FzPOFrrzr把 分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：rzr r r=+其中，zM r F =方向垂直于转轴MzPOzMFrzFF() zzr
2、 F r F F M M = + = +则：因为，在刚体定轴转动中，垂直于转轴方向的力矩分量对刚体转动没有贡献，只有沿转轴方向的力矩分量有贡献 . 所以，外力对转轴的力矩等于外力对定点 O的力矩沿转轴方向的分量：zM r F= s i nzM F r =M r F M= +把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量：zF F F=+其中：zM r F =方向垂直于转轴于是，得：zM M M M = + +zMM rM讨 论 多个外力对转轴的合力矩()z iz i iiiM M r F= = 等于各分力矩的矢量和：2. 转动定律MJ =说明 ：刚体定轴转动的 角加速度 与它所受的 合外力矩 成正比
3、，与刚体的 转动惯量 成反比 。d dddzz z zLM J Jtt = = =沿 z 轴的分量式为：质点系角动量定理：ex ddLMt=约定固定轴为 z 轴时，略去下标，写成： 刚体定轴转动定律3. 转动定律的应用例 5-3 两物体质量分别为 m1和 m2，定滑轮的质量为 m，半径为 R，可视作均匀圆盘 . 已知 m2 与桌面间的滑动摩擦系数为 m，求 m1的加速度和两段绳子中的张力各是多少？设滑轮与绳子间无相对滑动，滑轮轴受的摩擦力忽略不计 .R2m1mmO解：隔离物体分别对 m1、 m2 和 m作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律和转动定律列方程 .yx2m1mm2mgN1 1 1
4、m g T m a=2 2 2T m g m am=12R T R T J =aR=2Tf 2T1mg1T1T12212( 1 ) / 22mmT m gm m mmm+=+21112(1 ) / 22mmT m gm m mm+=+1212()2m m gam m mm=+a解方程，得：例 5-4 如图所示，一质量为 m、长为 l的均匀细棒 AB可绕一水平的光滑轴O在竖直平面内转动， O轴离 A端的距离为 l/3，今使棒从静止开始由水平位置绕 O轴转动，求：（ 1）棒转至任意位置时的角加速度和角速度；（ 2）竖直位置时，棒两端的速度和加速度 .解：棒对 O轴的转动惯量 (d l/6)22 2
5、 2111 2 6 9clJ J m d m l m m l= + = + =由转动定律 M J 可得： 21c o s69lm g m l=（ 1）棒转至任意位置时的角加速度 c o s23 lg=d d d dd d d dtt = = =0 0 03d d c o s d2gl = 3 singl=因为所以，积分得棒在任意位置的角速度：（ 2）竖直位置时，3AAglvr= 方向向右23BBglvr= 方向向左gra AA = 2 方向向下，指向 O点gra BB 22 = 方向向上，指向 O点A点：B点：3 gl =5.7 角动量守恒定律zLO ir imivzzLJ=刚体定轴转动时，沿转轴方向的角动量定理：ddzzLMt=对定轴的角动量守恒定律0=MzLJ =则 常量若 ，其中，讨 论 1） 若 J 不变， 不变；若 J 变化， 也变，但 L=J 不变；2）物体有整体运动时，如果对通过其质心的轴的合外力矩为零，则对该轴的角动量也守恒，与质心做何种运动无关 .
