1、培養創造力之數學教學案例,教育部中央課程與教學輔導諮詢教師台北市興雅國中 林壽福,第十名現象的研究,考第一名有用嗎，名次有多大價值？讀書時代學會什麼，才具有永續競爭力？,究竟什麼才能產生價值？,學習力比分數重要,自己學東西的習慣，是一輩子享用不盡的。,分析學習力,哥大CarolDweck認為學習動機來自兩種目標：學習目標（learninggoal）和表現目標(performancegoal)。學習目標指的是，打從心裡想要讓自己變得更棒，事情做得更好而產生學習動機；表現目標則是指，想讓別人覺得自己很厲害，避免別人覺得自己沒用而學習。,耶魯RobertJ.Sternberg教授智慧三元論成功智商包
2、括： 分析能力analyticalintelligence、 實務能力practicalintelligence、 創造能力creativeintelligence。只重視智力的成績評量方式是偏差的，這類評量方式只測量了學生的分析能力，卻沒有分析到實務能力及創造能力。也因此，根據他的論點，學業能力只代表今天的成功，無法保證未來的成就。所以應該激發孩子去贏未來,從某種意義上說，讓學生形成正確的學習方式和態度，比學習結果更重要。合理的學習方式和態度的形成，會使學生終生受益。,最好的禮物,學習的態度，是求學的基本。父母不該是培養第一名的孩子，而是培養孩子成為學習目標導向的人，這才是給孩子一輩子的禮物
3、。,學習動機（如好奇、求知慾、自我實現等）在創造力中具有最重要的決定意義。目標動機（如賞罰、物質刺激或社會刺激等）則導致低創造力。良好的態度對成功解決問題、發揮創造力是至關重要的。,目前數學教育的盲點：,太重視行為的操練，忽視內在心裡歷程。 太重視行為表現，忽略其認知與情感的參與。對學生興趣的減退視若無睹。 學習動力來自外部。“解題文化” 讓學生“苦”與“煩”。,知道如何學也樂於學,引發學習動機，對學習有興趣。良好的方法才能發揮天賦，創造力才能增長。創造力是沒辦法教的，但學生要能有真正被鼓勵發展並發表自己想法的機會。讓他們能進行不同方向的思考，可以提高其創造力。,認知與情感結合。讓學生體驗數學
4、思考的快樂和克服挑戰性問題後的精神滿足。,學生作品（不同方向的思考）,讓學生全面參與,從以教為本轉到以學為本。激發學生積極參與學習。通過促進參與不斷增強學生內在的學習動力。過多依賴考試、教學目標等手段作為學習動力，一定程度上忽視了學生本身的內在動力。,什麼最重要？,知識不是最重要的。老師最主要的任務，是幫助學生發現。最重要是想像力和創造力。教育本來應該是令人快樂的。,創造力教與學的四種啟動力：,直觀類比連結逆向林福來教授提供的想法,培養直觀的方法,鼓勵猜想開拓思維 創造能力知識量發散思維能力美的鑑賞 人文素養，豐富想像力邏輯思維與直觀能力交互運用數形結合中介思維能力訓練,猜想能力訓練,猜想既是
5、直觀思維的結果，也是直觀思維的形式。因此猜想能力的訓練既是培養學生直觀推理的能力，也是培養其數學直觀能力的直接、有效的方法。,對數運算規律的美作出猜想,（1） （2） 11 1 67 42 1111 121 6667 4422 111111 12321 666667 444222 11111111 ？ 66666667 44442222 6666666667 ？,9876543219 8888888889 876543219 788888889 76543219 68888889 6543219 5888889 543219 488889 43219 38889 3219 2889 219 1
6、89 19 9,9872 99989702 999998997002 9999999899970002 99999999989999700002 ： ： ：,21211 2332 212111 23532 2121111 235532 21211111 2355532 212111111 23555532 ： ：,121+1221+2+2+1321+2+3+3+2+1421+2+3+4+4+3+2+1521+2+3+4+5+5+4+3+2+1621+2+3+4+5+6+6+5+4+3+2+172,找出它們所蘊含的內在規律,佈 題,一、 2，4，6，8，10， 二、 1，3，5，7，9，三、3，
7、4，5，6，7，四、 9，11，13，15，17，1、猜猜這序列的第20、第200、第2000個數是多少？2、第n個數是多少？你是怎麼知道的？,五、 3，8，15，24，35，48，,規律關係： 13、24、35、46、57、68、,第20個數是 2022,第n項為 n(n +2),分解因數15 112 121 132 145 26 37 216 315 34 48 59,融入數形結合的思維方法,幫助學生構造心智圖像，促使直覺爆發。心智圖像具有具體與抽象統一性的特點，以及綜合的特點和整體識別的功能。,有一次畢達哥拉斯到郊外牧場散步，看見一位牧童趕著一群羊，便上前搭訕：嘿！小朋友！請問你這群羊有
8、多少隻呢？牧童剛想回答，但一看是畢達哥拉斯，牧童便說：我的羊按奇數1，3，5，分成數目不同的若干堆後，還剩下兩隻，這最多的一堆恰好是17隻。83隻！畢達哥拉斯脫口而出，牧童十分驚愕，於是向他討教。畢達哥拉斯蹲下來用小石子在草地上擺了一些圖，再用小樹枝鑲上曲尺形即磬折形（gnomon）的邊，如下圖所示，然後指著圖上的方格,說：你看！從圖上顯然有,太妙了！牧童激動地喊了起來。,聯想偶數序列,找出形數的 pattern,三角形數,五角形數,類比、聯想,類比、類似兩詞都源自希臘文analogia，原意是比較、比例的意思。拉普拉斯（Laplace）甚至在數學裡，發現真理的主要工具也是歸納和類比。,T1
9、+ T2 + T3 + Tn 該怎麼求呢？,3（T1 + T2 + T3 +T4 ）= 6 T4 可推得 3（T1 + T2 + +Tn ）=（n2）Tn T1 + T2 + +Tn =,當 Tn =1+2+3+ n 時,6 (T1 + T2 + +Tn ) = n (n1) (n2) ( T1 + T2 + +Tn ) =,逆向,“逆向思考”是善思者的一種思維習慣。逆向的題目和問題，對發展學生積極主動的、獨立的和創造性的思維很有價值。,T8 + T6 = 2T7 + 1 以圖形數呈現，該如何？,(a) P5S5T4 ，PnSnTn-1；(b) H52S55，Hn2Sn n。,下列各現實情境，
10、分別可以用哪一幅圖來近似刻畫？ （1）100公尺短跑（速度與時間的關係） （2）一杯逐漸涼了的水（水溫與時間的關係） （3）一面冉冉升起的旗子（高度與時間的關係） （4）等速度行駛的汽車（速度與時間的關係） （5）足球守門員大腳開出去的球（高度與時間的關係）,旅行者的故事 ：請你虛構一則旅行者的事。,連結思想就是連結,握手次數1. 如果規定改為：6對6的排球對抗賽，不分本隊和他隊，每位隊員都必須與其他隊員握手一次，試問他們共握了幾次手？2. 承上題，根據妳(你)的觀察，找出一個胚騰（pattern），並算出人數推展到 n 人時，握手次數為多少？請寫出詳細過程。,請問共有多少個矩形？,類比、連結
11、建模方法,數學家尤拉破解七橋問題,七橋問題：可否每座橋恰好走過一遍並回到原出發點 ？,尤拉發現七橋問題就相當於問：下圖可否一筆描繪，而且起點等於終點？（陸地和小島：點，橋：線條）,何謂 “偶點”和 “奇點”？,督學巡堂問題（類中國郵差問題）,請問丁督學他們可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？最後請你算出最短的路徑大約需要幾間教室的長度？（每間教室長約8.5公尺）,督學巡堂圖,校門口,為校長設計巡堂圖,請問校長她可以不重複的走過每一條路徑嗎？如果辦不到的話，至少需要重複幾次？請你幫校長設計一條巡堂的最短路徑圖，並請算出最短的路徑長度大約需多少間教室的長度？路徑參考圖如
12、下，圖中的數字單位是一間教室的長度（約8.5公尺）。,校長巡堂圖,題要,解決督學訪視、校長巡堂等運用問題。引入七橋問題的數學建模方法，體驗數學知識產生、形成、展開和應用的過程。培養觀察、分析、臆測、歸納和推理能力。圖論、拓樸學的起源這不僅是一個應用數學的過程，更是一個學習數學、理解數學、思考數學的過程。這樣的學習方式，使學生獲得的不僅是知識，還可能影響到他們對知識的看法、價值判斷，並形成終身學習的願望和能力。,“問題解決”教學主要是發展學生的創造力,加強數學知識發生過程的教學設計具有直觀、想像、猜測和邏輯情境的教學。認識基礎知識教學之重要性培養主動學習精神。意識問題、尋找策略、確定解決策略、反思。重視策略和方法的教學重視非認知因素的作用有趣與成功經驗。樹立好的學習風氣,謝謝！,Bye-bye,
