1、Mathematica 软件辅助数学分析教学实 践 徐家斌 内江师范学院数学与信息科学学院 摘 要： 综合运用Mathematica 软件的编程、计算和绘图、动画功能, 撷取二重积分概念 教学和正项级数审敛法研究性教学两例, 说明 Mathematica软件在辅助数学分 析课程教学方面的应用和优势, 结合慕课和互联网+, 在提高课程交互可视化和 教学有效性的同时, 激发学生学习和科学研究兴趣.同时推广了正项级数审敛的 拟对数判别法. 关键词： Mathematica; 二重积分; 数学分析; 正项级数; 作者简介：徐家斌 (1978-) , 男, 四川乐至人, 内江师范学院副教授.研究方向:
2、基础数学 基金：内江师范学院青年基金 (14ZB06) On the Teaching Practice of Mathematica-aided Mathematical Analysis XU Jiabin College of Mathematics and Information Science, Neijiang Normal University; Abstract： Through a comprehensive use of the mathematica Software in its powerful functions of programming, numerical
3、computing and drawing, and animation, two cases of teaching the teaching of double integral concept and the research teaching of positive term series convergence methodare selected to illustrate the applications and advantages of applying the mathematica software in aiding mathematical analysis of c
4、urricular teaching.With the help of MOOC and Internet plus, the Mathematica software is useful to promote the interactive dynamic visualization and enhance the teaching efficiency, and simultaneously spur students interest in learning and scientific research.And also, the quasi-logarithmic discrimin
5、ant method of positive term series convergence is generated. Keyword： Mathematica; double integrals; mathematical analysis; positive term series; 0 引言 数学分析是数学专业和理工科的一门核心基础课程, 其思想方法和数学语言的 学习是后继课程和科学研究的基础.但是由于数学分析课程的抽象性、复杂性、 内容体系庞大、符号化、学习周期长等因素, 导致很多学生畏难厌学, 学习情况 不容乐观1-3.数学分析课程教学改革历来是研究的热点, 早期是教学内容的 改革
6、, 现代多是教学方式的改革, 教学方式的改革主要包括多媒体辅助教学、 慕 课、微课、互联网+、翻转课堂、开放式教学等4-7.由于Mathematica 软件具 有强大的编程、符号与数值计算、绘图和动画功能, 在理工科广泛使用.近年来 Mathematica软件在学科教学中得到了越来越广泛的运用.如张平等8研究了 利用Mathematica 软件辅助傅里叶级数收敛定理的教学, 高东红9研究了用 Mathematica软件辅助微积分中二元函数连续与可偏导等概念之间的关系的教 学, 代西武等10研究了二元函数中空间图形的绘制, 辛春元11研究了用 Mathematica软件辅助极限概念和定积分概念的
7、教学, 李敏等12研究了 Mathematica软件在辅助二重积分计算方法教学中的应用, 还有很多学者 13-16研究了Mathematica 软件在高等数学、数值分析、实变函数等课程中的 应用和课程的动态交互可视化教学等.本文在利用 Mathematica软件辅助数学分 析课程教学实践的基础上, 选取利用Mathematica 软件辅助二重积分概念教学 和正项级数审敛法研究性教学两例, 说明Mathematica 软件在辅助数学分析教 学中的优势, 同时, 推广了正项级数审敛的拟对数判别法. 1 辅助概念教学 数学分析中的概念多且抽象, 如果只是理论的讲授, 学生往往只看见抽象的数 学符号,
8、 而不能理解数学符号后面鲜活的数学思维活动和概念涵义, 久而久之产生厌学情绪.而通过 Mathematica软件制作课件, 可以让学生在动手动脑的过 程中更好地理解数学概念背后的思维及其来源, 并且印象深刻. 二重积分是数学分析课程中的一个重要概念, 是定积分概念的承接和推广, 也 是三重积分、n重积分、曲线积分、曲面积分概念的基础, 蕴含着重要的数学思 想:逼近、 极限.传统的黑板加 PPT的教学方式并不能很好地表达出逼近的动态过 程, 不能让学生对分割越细近似效果越好的极限思想产生认同感.而利用 Mathematica 软件的编程、 数值计算、 绘图、 动画功能, 编制逼近的动态程序, 利
9、 用录屏软件, 添加实时的讲解过程, 制作成慕课课件, 可以很清楚地讲述二重 积分的概念, 让学生直观地体会到用平顶柱体逼近曲顶柱体、 小平面块逼近曲面 的过程, 并且印象深刻. Mathematica程序如下: 调用程序, 生成适时可控动画图形.二重积分的概念包含四个过程: (1) 分割. 如图1, 将曲顶柱体的底面任意分成n个小区域, 从而将曲顶柱体分成n个小曲 顶柱体; (2) 近似.将每个小曲顶柱体用一个小平顶柱体近似, 图1、图 2、图3 是动态近似过程截图; (3) 求和.求出所有小平顶柱体体积之和即图中的sum值, 来近似曲顶柱体体积; (4) 取极限.调整程序中的参数 step
10、1和step2, 用不同 个数的小平顶柱体来近似.从图3可以看出, 用16个小平顶柱体来近似的误差很 大 (这也解释了为什么要分割的原因) ;而图 6容易看出, 用400个小平顶柱体 来近似效果已较好, 可以让学生直观看出, 小平顶柱个体数越多, 近似效果越 好 (误差越来越接近于 0, 对比近似值sum 和真实值true来验证) .故取极限, 让底面每个小区域的直径趋于 0, 则所有小平顶柱体体积之和趋于整个大的曲 顶柱体体积, 所有小平顶柱体的顶部小平面块趋于曲顶柱体的曲面.用小平顶柱 体近似小曲顶柱体和小平面块近似小曲面块, 为后续学习曲面的面积打下基础. 如此讲授, 简洁而清楚, 学生
11、明白为什么要分割和取极限.数学分析中的许多概 念和结论, 如极限、连续和间断、函数一致连续、函数列一致收敛、定积分、无 穷小量的阶、归结原则、导数泰勒公式、级数等等知识, 都可以用Mathematica 较好地辅助教学. 2 辅助研究性教学 级数是数学分析中的一个重要内容, 其关键性问题之一是敛散性判别, 对此有 很多优美的研究结论17-20, 级数的审敛问题是进行研究性教学和引导学生进 入科学研究的一个很好的内容4,19.正项级数审敛法研究性教学中要注重知识 的系统性、 逻辑性和对学生的启发性, 首先得出正项级数收敛则部分和数列有上 界的充要条件, 由此可得比较判别法, 再选特殊比较对象可得
12、比式判别法、 根式 判别法、拉贝判别法、高斯判别法等, 然后抛出系列问题:各种判别法的优缺点 和强弱、多种判别法的结合、提高精度得出新判别法、有无可判别任何正项级数 的最终判别法等, 引导学生进行研究, 并结合研究成果给出适时的指导. 审敛法的强弱与它所依据的标准级数的收敛速度有关, 收敛得慢的正项级数可 以判定出比它收敛“得快的正项级数的收敛性17, 而级数 是后一 个比前一个收敛的慢17, 因此, 任何一个正项级数都可以在上述级数中找到 一个比它收敛得更慢的级数, 由此推广正项级数的拟对数判别法17.自然可得 下述判别法 (理论上说, 该判别法可以判别任何正项级数的敛散性) 。 定理设un
13、为严格正项级数 , (i) 若 , 都有 推论设un为严格正项级数 , (i) 若 则un收敛; (ii) 若 定理中n=1时即为拟对数判别法, 若n=1不能判别, 再取n=2进行判别, , 此 判别法具有重复机械性, 因此适宜编制程序, 故利用Mathematica软件编制了 如下程序: 以教材21中例题 为例, 调用程序 很容易得出s=1, 2 时是发散的, 而从s=3一直验证到 s=16都是收敛的, 因此, 可猜想该级数当s3 都是收敛的.事实上, 当s3时, 由比较判别法得证. 3 结束语 充分利用Mathematica 软件的计算、绘图、动画、编程功能, 在数学分析的概念 教学、定理
14、教学、方法教学、开放式教学中引入 Mathematica软件辅助教学, 可 以使课程教学直观化、 交互可视化, 能加深学生对概念的理解和认识, 帮助学生 探索定理的条件, 发现和验证猜想, 把所学知识“用”起来, 更好地激发学生学习兴趣, 提高教学有效性, 也有助于培养学生的科学研究思维, 有助于慕课、 微课的实施. 参考文献 1吴玉田.“数学分析”课程教学现状研究J.萍乡学院学报, 2016, 33 (6) :109-112. 2李红梅.数学分析课程学习现状调查分析与教学对策探讨-以四川文理学院为 例J.四川文理学院学报, 2015 (2) :75-79. 3龚小兵.数学分析教学与中学数学衔
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