1、1,第七章 图,7.1 图的定义和术语7.2 图的存储结构7.3 图的遍历7.4 图的连通性问题7.5 有向无环图及其应用7.6 最短路径,2,7.1图的定义和术语,抽象数据类型图的定义： ADT graph 数据对象V： V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系R： R=VR VR=|v,wV且P(v,w),表示从v到w的 弧，谓词P(v,w)定义了弧的意义或信息 基本操作P：. / ADT graph,3,顶点,图中的数据元素。,弧,若VR，则表示从v到w的一条弧。称v为弧尾或初始点，称w为弧头或终端点，此时的图称为有向图。,边,若VR必有VR，则以无序对（v,w）代替这两
2、个有序对，表示v和w的一条边。此时的图称为无向图。,4,例：,(a)有向图G1,(b)无向图G2,G1的定义： G1=(V1,A1)其中： V1=v1,v2,v3,v4 A1=, ,G2的定义： G2=(V2,E2)其中：V2=V1,V2,V3,V4,v5 E2=(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3), (v2,v5),(v3,v4),(v3,v5),5,设n表示图中结点数；e表示边或弧的数目。则：（1）在无向图中，e的取值范围是0n(n-1)/2;,例：,证： e的最大值 =(n-1)+(n-2)+1+0 =n(n-1)/2,在无向图中，如有n(n-1)/2条边，则称为完全图。,例：
3、,6,（2）在有向图中，e的取值范围是0n(n-1);,例：,证： e的最大值 =(n-1)+(n-1)+(n-1) =n(n-1),在有向图中，如有n(n-1)条弧，则称为有向完全图。,例：,有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。,7,权,图的边或弧具有与它相关的数。,网,带权的图 。,例：,子图,假设有两个图G=(V,E)和G=(V,E)，如果 且 ，则称G为G的子图。,例：图P的子图：,1,8,例：,判定哪些为它的子图：,9,邻接点,在无向图G=（V，E）中，如果边(v,v)E，则称顶点v和v互为邻接点，即v和v相邻接。边(v,v)依附于顶点v和v，或者说边(v,v)和顶点v和v
4、相关联。,顶点的度,指和该顶点相关联的边的数目,记为: TD(V)。,例：,顶点v1与v2相邻接。顶点v1与v2互为邻接点。边(v1,v2)依附于顶点v1和v2。顶点v1的度为2。顶点v3的度为3。,10,邻接到/自,在有向图G=(V，A)中,如果弧A，则称顶点v邻接到顶点v,顶点v邻接自顶点v。弧和顶点v和v相关联。,顶点的入度,以该顶点为头的弧的数目,记为: ID(V)。,例：,顶点的出度,以该顶点为尾的弧的数目,记为: OD(V)。,顶点的度,TD（v）=ID（v）+OD（v）,弧和顶点v1和v3相关联。顶点v1邻接到顶点v3。顶点v1邻接到顶点v2。顶点v3邻接自顶点v1。,顶点v1的
5、入度为1。顶点v1的出度为2。顶点v1的度为3。,11,一般地，如果顶点vi的度记为TD(vi)，那么一个有n个顶点，e条边或弧的图，满足如下关系：,例：,验证： e=1/2(2+3+3+2+2)=6 e=1/2(3+1+2+2)=4,12,在无向图G=(V,E)中，从顶点v到顶点v的路径是一个顶点序列（v=vi0,vi1,vim=v),其中(vij-1,vij) E,1=j=m。,路径,在有向图G=(V,A)中，从顶点v到顶点v的路径是一个顶点序列（v=vi0,vi1,vim=v),其中A,1=j=m。,路径的长度,路径上边或弧的数目。,例：,顶点v1到v5的路径为: (v1,v2,v5)
6、,长度为2; (v1,v2,v3,v5),长度为3；,顶点v1到v4的路径为:(v1,v2,v4) ,长度为2; (v1,v3,v4),长度为2；,13,回路或环,第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。,简单路径,路径中序列顶点不重复出现的路径。,除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路。,简单回路(简单环),例：,路径(v1,v2,v4,v1)是回路、简单回路。路径(v1,v2,v4,v1,v3)不是简单路径。路径(v1,v3,v4)是简单路径。,连通,在无向图G中，如果从顶点v到顶点v有路径，则称v 和v是连通的。,连通图,在无向图G中，如果对于图中任意两个顶点vi,vjV
7、，vi与vj都是连通的，则G为连通图.,14,连通分量,无向图中的极大连通子图。,例：,v1与v2、v1与v3 、v1与v4、v1与v5v2与v3、v2与v4、 v2与v5 v3与v4 v3与v5 v4与v5都是连通的，此图是连通图。,v1与v3、v7 v2与v3、v7 v4与v3、v7 v5与v3、v7 v6与v3、v7不连通，此图不是连通图，它的连通分量为：,15,强连通图,在有向图G中，如果对于每一对vi,vjV,vivj,从vi到vj和vj到vi都存在路径，则G为强连通图.,强连通分量,有向图中的极大强连通子图。,例：,不是强连通图，它的强连通分量为：,是强连通图,2,16,顶点在图中
8、的位置,指该顶点在一个人为的随意排列中的位置（或序号）。,例：,v1v2v3v4v5v5v3v4v1v2 ,顶点的邻接点的次序,对该顶点的所有邻接点进行排列。,17,图的基本操作：（1）locatever(G,u) 顶点定位函数。,例：,图按v2v3v4v5v1v6人为排列,Locatever(G,v3)=1,（2）firstadjvex(G,v) 求第一个邻接点函数。,例：,Firstadjvex(G,v2)=v1,顶点v2的邻接点按v1v3v5排列,Firstadjvex(G,v6)=null,18,（3）nextadjvex(G,v,w) 求下一邻接点函数。,例：,Nextadjvex(
9、G,v2,v3)=v5,顶点v2的邻接点按v1v3v5排列,Nextadjvex(G,v2,v5)=null,（4）insertvex(&G,u) 插入顶点操作。,例：,Insertvex(G,v6),（5）insertarc(&G,v,w) 插入弧/边的操作。,例：,Insertarc(G,v5,v6)Insertarc(G,v2,v6),19,（6）deletevex(&G,v) 删除顶点操作。,例：,Deletevex(G,v4),（7）deletearc(&G,v,w) 删除弧/边操作。,例：,Deletearc(G,v1,v4),20,7.2 图的存储结构,图的多重链表：,常用的存储
10、结构：数组表示法 邻接表、邻接多重表、十字链表,图的顺序存储结构：无,21,7.2.1 数组表示法,用两个数组分别存储数据元素（顶点）的信息和数据元素之间的关系（边或弧）的信息。,顶点：,一维数组,弧或边：,二维数组,22,C表示：,#define INFINITY INT_MAX /最大值无穷大#define MAX_VERTEX_NUM 20 /最大顶点个数typedef enumDG,DN,AG,AN GraphKind; /有向图，有向网，无向图，无向网typedef struct ArcCell VRType adj; InfoType *info; /该弧相关信息的指针ArcCel
11、l,AdjMatrixmax_vertex_nummax_vertex_num;tpyedef struct VertexType vexsMAX_VERTEX_NUM; /顶点向量 AdjMatrix arcs; /邻接矩阵 int vexnum,arcnum; /图的当前顶点数和弧数 GraphKind kind; /图的种类标志MGraph;,23,例：,数组表示法存储该图：,Mgraph a;,a.vexs0=A;a.vexs1=B;a.vexs2=C;a.vexs3=D;,a.arcs00.adj=0a.arcs01.adj=1a.arcs33.adj=0;,a.vexnum=4;a
12、.arcnum=4;,a.kind=DG;,24,例：,数组表示法存储该图：,Mgraph a;,a.vexs0=1;a.vexs1=2;a.vexs2=3;a.vexs3=4;a.vexs4=5;,a.arcs00.adj=0a.arcs01.adj=1a.arcs44.adj=0;,a.vexnum=5;a.arcnum=6;,a.kind=UDG;,25,例：, 5 7 4 8 9 5 6 5 3 1 ,网的邻接矩阵：,Aij.adj=,wij 若或(vi,vj)VR 反之,26,例：,数组表示法存储该图：,Mgraph a;,a.vexs0=v1;a.vexs1=v2;.a.vexs5
13、=v6;,a.arcs00.adj= INFINITY ;a.arcs01.adj=5;a.arcs55.adj= INFINITY;,a.vexnum=6;a.arcnum=10;,a.kind=DN;, 5 7 4 8 9 5 6 5 3 1 ,27,在邻接矩阵中易判定任意两个顶点之间是否有边/弧，并易求得各个顶点的度：,（1）在有向图中,第i行的元素之和为顶点vi的出度OD(vi); 第i列的元素之和为顶点vi的入度ID(vi)。,例：,A1=,OD(v1)=2ID(v1)=1OD(v3)=1ID(v3)=1,（2）在无向图中，第i行（或第i列）的元素之和为顶点vi的度TD(vi)。,例
14、：,A2=,TD(v1)=2TD(v5)=2,28,建立无向网的数组存储结构的算法：,算法的时间复杂度： O(n*n+en),Status createudn(mgraph ,有向网?无向图?有向图?,29,（1）locatevex(G,v) 顶点定位函数。（2）first adj(G,v) 求第一个邻接点函数。（3）next adj(G,v,w) 求下一邻接点函数。,以数组作为存储结构,图的三种基本操作的实现:,例：,0 1 1 00 0 0 00 0 0 11 0 0 0,G.vexs,G.arcs,30,例树T：,孩子链表：,7.2.2 邻接表,31,邻接表是图的一种链式存储结构。在邻接
15、表中，对图中每个顶点建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点vi的边（对有向图是以顶点vi为尾的弧） 。每个链表附设一个表头结点，在表头结点中除了指针域外，还存储顶点的有关信息。,32,结点结构：,邻接点域：指示与顶点vi邻接的点在图中的位置。链域：指示下一条边或弧的结点。数据域：存储和边或弧相关的信息。,表头结点结构：,数据域：存储顶点vi及与顶点有关的其它信息。链域：指示链表中第一个结点。,33,例：,34,C表示：,#define MAX_VERTEX_NUM 20typedef struct ArcNode int adjvex; /该弧所指向的顶点的位置 struct Ar
16、cNode *nextarc; /指向下一条弧的指针 InfoType *info; /该弧相关信息的指针 ArcNode;typedef struct VNode VertexType data; /顶点信息 ArcNode *firstarc; /指向第一条依附该顶点的弧的指针 VNode,AdjListMAX_VERTEX_NUM;typedef struct AdjList vertices; int vexnum,arcnum; /图的当前顶点数和弧数 int kind; /图的种类标志 ALGraph;,35,(1)在无向图中,第i个链表中的结点数为顶点vi的度TD(vi);,例：
17、,TD（v1）=TD（v2）=TD（v3）=TD（v4）=TD（v5）=,23322,在邻接表中求各个顶点的度：,36,(2)在有向图中,例：,OD(v1)=ID(v1)=OD(v2)=ID(v2)=,2,1,0,1,OD(v3)=ID(v3)=OD(v4)=ID(v4)=,1111,第i个链表的结点数是顶点vi的出度OD(vi)；所有链表中其邻接点域值为i的结点的个数是顶点vi的的入度ID(vi);,37,在有向图中，为了便于确定顶点的入度，可建立有向图的逆邻接表：,例：,TD(v1)=OD(v1)+ID(v1)=2+1=3TD(v4)=OD(v4)+ID(v4)=1+1=2,38,课堂练习
18、：画出下图的邻接矩阵和邻接表。,0 1 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 00 1 0 0 01 0 1 0 0,邻接表：,39,7.3 图的遍历,图的遍历,从图中某一顶点出发访问图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次。,为了避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中，设一个辅助数组： visited0.n-1,visitedi 初值为false,visitedi 已被访问值为true,常用的图的遍历方法： （1）深度优先搜索 （2）广度优先搜索,40,7.3.1 深度优先搜索,深度优先搜索算法：,（1）从图中某个未被访问的顶点出发，访问该顶点。（2）然后依次从该顶点的未被访问的邻接
19、点出发深度 优先遍历图。（3）若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个 未被访问的顶点作为起始点,重复（1）、（2）， 直到图中所有顶点都被访问到为止。,例：,深度优先搜索访问序列：,1,2,3,4,5,2,1,4,3,5,41,深度优先搜索访问序列：,1,2,3,4,1,3,4,2,深度优先搜索访问序列：,1,2,5,6,4,3,7,如果给出图的存储结构和起始点，则访问序列是唯一确定的：,例:,深度优先搜索访问序列：,42,深度优先搜索的过程：,例：,43,图的深度优先遍历:,v1的邻接点:v2、v3v2的邻接点:v1、v4、v5 v3的邻接点:v1、v6、v7v4的邻接点:v2、v8v5
20、的邻接点:v2、v8v6的邻接点:v3、v7,v7的邻接点:v3、v6v8的邻接点:v4、v5,44,图的深度优先遍历算法:,Boolean visitedMAX;Void dfstraverse(graph G) For (v=0;v=0; w=nextadjvex(G,v,w) if (!visitedw) dfs(G,w);,45,dfs(g,0),Visited0=true;Print(A)for w=1; if dfs(g,1); w=3; if w=-1；,Visited1=true;Print(B)for w=0; if w=2;if dfs(g,2); w=4 if w=-1;
21、 ,Visited2=true;Print(C)for w=1; if w=3;if dfs(g,3); w=4;if dfs(g,4); w=-1; ,Visited3=true;Print(D)for w=0; if w=2; if w=-1;,Visited4=true;Print(E)for w=1; if w=2; if w=-1;,46,7.3.2 广度优先搜索,广度优先搜索算法：,（1）从图中某个未被访问的顶点出发，访问该顶点。（2）然后依次访问该顶点的各个未曾被访问的邻接点, 然后分别从这些邻接点出发广度优先遍历图,直到 图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。（3）若此时图
22、中尚有顶点未被访问，则另选图中一个 未被访问的顶点作为起始点,重复（1）、（2）， 直到图中所有顶点都被访问到为止。,47,例：,广度优先搜索访问序列：,1,2,4,3,5,2,1,3,5,4,广度优先搜索访问序列：,1,2,4,5,6,3,7,48,图的广度优先遍历:,v1的邻接点:v2、v3v2的邻接点:v1、v4、v5 v3的邻接点:v1、v6、v7v4的邻接点:v2、v8v5的邻接点:v2、v8v6的邻接点:v3、v7,v7的邻接点:v3、v6v8的邻接点:v4、v5,49,广度优先遍历算法实现：,A,B,D,C,E,Void bfstraverse(graph G) For (v=0
23、;v=0; w=nextadjvex(G,u,w) if (!visitedw) visitedw=true; visit(w); enqueue(Q,w); ,50,结论:设E为连通图G的所有边的集合,则从图中任一顶点出发遍历图时,必将E分为两个集合T和B,其中T为遍历经过的边的集合,B为剩余的边的集合.则T和图G中的所有顶点一起构成连通图的一棵生成树.,7.4图的连通性问题,7.4.1无向图的生成树,连通图的生成树,是连通图的一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。,例：,生成树,51,例:,深度优先搜索遍历:,12345,经过的边的集合:,(1,2), (
24、2,3), (3,4), (3,5),深度优先生成树,广度优先搜索遍历:,12435,经过的边的集合:,(1,2), (1,4), (2,3), (2,5),广度优先生成树,52,7.4.3 最小生成树,可有n(n-1)/2条线路,选择n-1条,使总费用最小,构造连通网的最小代价生成树(最小生成树)问题,构造最小生成树的常用算法: (1)普里姆(Prim)算法 (2)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,53,1、普里姆(Prim)算法,假设N=(V,E)是连通网,TE是N上最小生成树中边的集合.,（1）U=u0 , TE= 其中u0V；（2）在顶点uU和顶点vV-U的所有边（u,v）中找一 条代
25、价最小的边（u0,v0）并入集合TE，同时v0并 入U；（3）重复（2），直到U=V为止。此时TE必有n-1条边， 则T=（V，TE）为N的最小生成树；,54,例：,构造最小生成树,U=1 ,V-U=2,3,4,5 ,TE=,1,U=1,2 ,V-U=3,4,5 TE=(1,2),1,2,3,U=1,2,4 ,V-U=3,5 TE=(1,2),(1,4),4,5,U=1,2,4,5 ,V-U=3 TE=(1,2),(1,4),(2,5),5,5,U=1,2,4,5,3 ,V-U= TE=(1,2),(1,4),(2,5),(5,3),3,2,逻辑算法,55,普里姆(Prim)一级算法：,设置一
26、个辅助数组closedge0.n-1,它有两个分量vex和lowcost.对于每个顶点viV-U: closedgei.lowcost表示:顶点vi到U中所有顶点具有的最 小权值边的权值; closedgei.vex表示:这条边依附在U中的顶点;,例:,U=v0 ,V-U=v1,v2,v3,v4 TE=,closedge1.lowcost=closedge1.vex=closedge2.lowcost=closedge2.vex=,3,v0,56,例:,v0,3,v0,5,v0,v1,v2,v3,v4,v0,v1,3,0,v1,6,v0,5,v1,5,v3,5,0,v0,v1,v3,v2,v4
27、,0,v1,6,v1,5,v4,5,0,v0,v1,v3,v4,v2,0,v4,2,0,v2,2,0,v0,v1,v3,v4,v2,0,0,0,1,3,4,2,57,(选学)普里姆(Prim)二级算法：,Proc minispantree_prim(gn:adjmatrix; u0:1.n); for v:=1 to n do if vu0 then 【closedgev.vex:=u0; closedgev.lowcost:=gnu0,v】; closedgeu0.lowcost:=0; for i:=1 to n-1 do 【k:=minimum(closedge); write(clos
28、edgek.vex,k); closedgek.lowcost:=0; for v:=1 to vtxnum do if gnk,vclosedgev.lowcost then 【closedgev.lowcost:=gnk,v;closedgev.vex:=k】 】Endp;minispantree,时间复杂度:O(n*n),58,2、克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,（1）设T=(V,)为含n个结点而无边的非连通图,图中每 个顶点自成一个连通分量.（2）在E中选择代价最小的边,若该边依附的顶点落在T 中不同的连通分量上,则将此边加入到T中,否则舍去 此边.（3）重复（2），直到T中所有顶点
29、都在同一连通分量上 为止。则T为N的最小生成树；,假设N=(V,E)是连通网.,59,例：,构造最小生成树,T=(1,2,3,4,5,),T=(1,2,3,4,5,(3,5),2,T=(1,2,3,4,5,(3,5),(1,2),3,T=(1,2,3,4,5,(3,5),(1,2),(1,4),(2,5),5,T=(1,2,3,4,5,(3,5),(1,2),(1,4),5,逻辑算法,60,例:,构造最小生成树,1,2,3,4,5,T=(1,2,3,4,5,6,),T=(1,2,3,4,5,6,(1,3),T=(1,2,3,4,5,6,(1,3),(4,6),T=(1,2,3,4,5,6, (
30、1,3),(4,6),(2,5),T=(1,2,3,4,5,6, (1,3),(4,6),(2,5),(3,6),T=(1,2,3,4,5,6, (1,3),(4,6),(2,5),(3,6),(2,3),61,7.5有向无环图及其应用,有向无环图（DAG）,无环的有向图。,directed acycline graph,有向树、有向图、有向无环图的区别：,有向无环图的应用： （1）作为描述含有公共子式的表达式的工具； （2）作为描述一项工程或系统的进行过程的工具；,62,1、描述含有公共子式的表达式,例：表达式: (a-b)*(a+b)*b)+(a-b)-(a+b)*b,用二叉树描述：,63
31、,用有向无环图描述：,表达式: (a-b)*(a+b)*b)+(a-b)-(a+b)*b,64,2、描述一项工程或系统的进行过程,例：某一项工程的流程图,对于此工程，我们关心的两个问题是： （1）工程是否能顺利进行（判定有向图是否有环）。 （2）估算整个工程完成所必须的最短时间。对应于有向图，即为以下两个问题： （1）对有向图进行拓朴排序。 （2）求有向无环图的关键路径。,65,7.5.1 拓朴排序,拓朴排序,由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称为拓朴排序。,偏序,指集合中仅有部分成员之间可比较。,全序,指集合中全体成员之间均可比较。,例:,设图中弧表示xy,则左图表示偏序
32、,右图表示全序.,66,拓朴排序,偏序、全序、拓朴排序在工程或系统问题中的应用：,（1）用一个偏序的有向图来表示一个流程图。（2）图中顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系。 这种以顶点表示活动的有向图被称为AOV-网。（3）在网中，若从顶点i到顶点j有一条有向路径，则i 是j的前驱, j是i的后继;若是网中一条弧，则i 是j的直接前驱，j是i的直接后继。,67,例：计算机软件专业学生的必修课程关系如下表：,表示课程间优先关系的有向图,68,判定AOV-网中是否存在环的方法：,对有向图构造其顶点的拓朴有序序列，若网中所有顶点都在它的拓朴有序序列中，则该网中必不存在环，反之则网中存在环。,例：,
33、进行拓朴排序的方法：,（1）在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之。（2）从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。（3）重复（1）、（2）直至全部顶点都输出或当前图中 不存在无前驱的顶点为止。,拓朴有序序列：,1,2,3,5,4,结论:网中所有顶点都在此拓朴有序序列中，所以该网不存在环,69,例：,拓朴有序序列：,1,2,结论:该网存在环,拓朴有序序列：,1,2,结论:该网不存在环,3,4,5,1,2,4,3,5,例:,拓朴有序序列：,c1c2c3c4c5c7c9c10c11c6c12c8,结论:该网不存在环,70,7.5.2 关键路径,AOV-网:,1、工程是否能顺利进行？,2、整个工程完成所必
34、须的最短时间？,71,AOE_网,一种用边表示活动的带权有向无环图。,在网中：（1）顶点表示事件。 （2）弧表示活动。 （3）权表示活动持续的时间。,例：,(1)有事件 v1,v2,v3,v9。 每个事件表示:在它之前的活动已完成,在它之后的活动可以开始。(2)有活动a1,a2,a11。(3)活动持续的时间为6、4、5。,72,AOV-网:,AOE_网,73,在AOE_网中，我们关心的问题是：（1）完成整项工程至少需要多少时间？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？,完成工程的最短时间=,从开始点到完成点的最长路径的长度。,例：,路径（v1,v2,v5,v8,v9)是关键路径，长度为18。路径（
35、v1,v2,v5,v7,v9)是关键路径，长度为18。,影响工程进度的关键是：,关键路径上的活动。,例：,关键活动：a1, a4, a8, a11, a7, a10。,74,总结：,有向图,工程是否能顺利进行,拓扑排序,有向网,AOV图,（1）完成整项工程至少需要多少时间？（2）哪些活动是影响工程进度的关键？,关键路径、关键活动,AOE网,75,7.6 最短路径,1.问题的提出,15个城市的交通网,满足旅客的各种要求：（1）A城到B城的中转次数最少的路线。（2）A城到B城的费用最少的路线。,76,2、求A城到B城的中转次数最少路线的算法。,（1）从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到 顶点B
36、就终止。（2）在由此得到的广度优先生成树上，从A到B的路 径就是中转次数最少路线。,例：,v3到v4的中转次数最少的路线：,(v3,v1,v2,v4),77,7.6.1 从某个源点到其余各顶点的最短路径,例:,无 (v0,v2) 10(v0,v4,v3) 50(v0,v4) 30(v0,v4,v3,v5) 60,迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思想:,按路径长度递增的次序产生最短路径.,算法的一级实现:,辅助数组D0.n-1,Di: 表示当前所找到的从始点v到终点vi的最短路径的长度.,78,算法的二级实现: (用邻接矩阵arcs来存储有向网的弧)(1) S:表示已找到从v出发的最短路径的终
37、点的集合; Di:表示当前所找到的从v到终点vi的最短路径的长度. S=v; Di=arcsLocate-vex(G,v)i viV(2)选择vj, 使得 Dj=minDi| viV-S 令 S=Sj(3)修改从v出发到集合V-S上任顶点Vk可达的最短路径长度. if Dj+arcsj,kDk Dk=Dj+arcsjk(4)重复(2)、(3)共n-1次; 即可求得从v到图上其余各顶点的最短路径.,79,例:,v0,10,(v0,v2),30,(v0,v4),100,(v0,v5),v0,v2,60,(v0,v2,v3),30,(v0,v4),100,(v0,v5),v0,v2,v4,50,(v0,v4,v3),90,(v0,v4,v5),v0,v2,v4,v3,60,(v0,v4,v3,v5),v0,v2,v4,v3,v5,80,算法7.15 P189,时间复杂度为：O（n*n）,81,图的小结：,图的存储结构,数组表示法邻接表十字链表邻接多重表,图的遍历,深度优先遍历广度优先遍历,图的应用,最小生成树,Primkruskal,拓扑排序,关键路径,最短路径,DijkstraFloyd,无向网,有向图,有向网,有向网,
