1、第19章 初等数论,以整数集为典型代数系统的数论知识一直被认为是既神秘又古老。虽然绝大多数人自小学生起就开始认识它，而一些数学家却一辈子踏着它往皇冠上攀。现在，计算机终于给数论这门再纯洁不过的数学分支扬起了应用的帆。我们这里介绍的虽然只是初等数论的基础知识，但它们在计算机的数据表示、数据传输以及电子商务应用中的数据保密等方面起着非常重要的作用。,第19章 初等数论,19.1 素数19.2 最大公约数与最小公倍数19.3 同余19.4 一次同余方程19.5 欧拉定理和费马小定理 19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用,19.1 素数,整除、倍数和因子带余除法素数与合数算术基本定理筛法,整
2、除、倍数和因子,今后只考虑正整数的正因子.平凡因子 : 1和自身真因子 : 除1和自身之外的因子例如, 2, 3 是 6 的真因子,设a, b是两个整数，且b0. 如果存在整数c 使 a=bc，则称a 被b 整除，或 b 整除a，记作 b|a. 此时, 又称 a 是b 的倍数，b是a 的因子. 把 b 不整除 a 记作 b a.例如, 6有8个因子1, 2, 3和6.,整除的性质,性质19.1 若a|b且a|c, 则 x,y, 有a|xb+yc.性质19.2 若a|b且b|c, 则a|c.性质19.3 设 m0, 则 a|b 当且仅当 ma|mb.性质19.4 若a|b且b|a, 则a=b.性
3、质19.5 若a|b且b0, 则|a|b|.,带余除法: a=qb+r, 0r 1, p是素数且d| p, 则d =p.性质19.7 设p是素数且p|ab, 则必有p|a 或者 p| b. 设p是素数且p|a1a2ak, 则必存在1ik, 使得p|ai.性质19.8 a1是合数当且仅当a=bc,其中1ba,1c1, 则 a= , 其中 p1,p2,pk是不相同的素数, r1,r2,rk是正整数, 并且在不计顺序的情况下, 该表示是唯一的. 该表达式称作整数a的素因子分解. 例如 30=235, 117=3213, 1024=210 推论 设a= , 其中p1,p2,pk是不相同的素数, r1,
4、r2,rk是正整数, 则正整数d为a的因子的充分必要条件是d= , 其中0siri, i=1,2,k.,例题,例1 21560有多少个正因子?,解 21560=2357211 由推论, 21560的正因子的个数为4232=48.,例2 10!的二进制表示中从最低位数起有多少个连续的0?,解 2, 3, 4=22, 5, 6=23, 7, 8=23, 9=32, 10=25. 得 10!=2834527,故10!的二进制表示中从最低位数起有8个连续的0.,素数的分布,梅森数(Marin Mersenne): 2p1, 其中p为素数 当n是合数时, 2n1一定是合数, 2ab1=(2a1)(2a(
5、b1)+2a(b2)+2a+1).梅森数可能是素数, 也可能是合数: 221=3, 231=7, 251=31, 271=127都是素数, 而2111=2047=2389是合数.到2002年找到的最大梅森素数是2134669171, 有4百万位.,定理19.2 有无穷多个素数.证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,pn,令m=p1p2pn+1. 显然, pi m, 1in. 因此, 要么m本身是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.,素数判定,1772年欧拉(瑞, 1701-1783)证明第8个梅森素数M31, 有10位数字. 1996年美国数学家及程序设计师乔治沃特曼
6、编制了因特网梅森素数大搜索程序(GIMPS项目), 将其放置在因特网上供数学爱好者使用。目前有150多个国家的9万多名志愿者、超过25万台计算机参与这项计划.,该计划利用大量普通计算机的闲置时间, 获得相当于超级计算机的运算能力，近年来新产生的梅森素数都是通过GIMPS项目找到的. 美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金, 鼓励第一个找到超过千万位素数的人; 25万美元奖第一个找到超过十亿位素数的人.,素数判定,在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数, 近10多年来通过GIMPS项目找到了10个(35至44个)梅森素数.,德国眼科专家马丁诺瓦克2005年2月18日发现第42个梅森素数M25
7、964951, 有7816230位数. 美国数学家库珀和化学家布恩, 2005年12月15日发现第43个梅森素数M30402457, 有9152052位数; 他们在2006年9月4日又发现第44个梅森素数M32582657, 有9808358位数, 如果用普通字号将这个数字连续写下来, 它的长度超过40公里. 周海中（中）梅森素数分布猜测（1992）,素数判定,素数的分布(续),(n): 小于等于n的素数个数. 例如 (0)=(1)=0, (2)=1, (3)=(4)=2, (5)=3.,素数的分布(续),补充定理 当n67时,定理19.3 (素数定理),素数测试,定理19.4 如果a是合数,
8、 则a必有小于等于 的真因子.证 由性质19.8, a=bc, 其中1( )2=a, 矛盾.推论 如果a是合数, 则a必有小于等于 的素因子.证 由定理19.4, a有小于等于 的真因子b. 如果b是素数, 则结论成立. 如果b是合数, 由性质19.9和性质19.5, b有素因子pb . 根据性质19.2, p也是a 的因子, 结论也成立.,实例,例3 判断157和161是否是素数.解 , 都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11.检查结果如下: 2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数. 2 161, 3 161, 5
9、161, 7|161（161=723）结论：161是合数.,埃拉托斯特尼(Eratosthene)筛法,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
10、 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 6
11、8 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
12、71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
13、 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 7
14、6 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100,19.2 最大公约数与最小公倍数,公约数、最大公约数公倍数、最小公倍数辗转相除法互素,最大公约数与最小公倍数,d 是a与b的公因子(公约数): d |a 且 d |bm是a与b的公倍数: a | m 且 b | m定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如
15、gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.,最大公约数与最小公倍数(续),定理19.5 (1) 若a | m, b | m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b).证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM +r,0rD, 注意到d|a, D|a, 由(1), 得m|a. 同理, m|b. 即,m是a和b的公因子, 与D是a和b的最大公约数矛盾.,最大公约数与最小公倍数(续),例4 求150和168的最大公约数和最小公倍数.解 1
16、50=2352, 168=2337. gcd(150,168)=21315070=6, lcm(150,168)=23315271=4200.,利用整数的素因子分解, 求最大公约数和最小公倍数. 设 其中p1,p2,pk是不同的素数, r1,r2,rk, s1,s2,sk是非负整数. 则 gcd(a,b)= lcm(a,b)=,辗转相除法,定理19.6 设a=qb+r, 其中a, b, q, r 都是整数, 则 gcd(a,b) = gcd(b,r).证 只需证a与b和b与r有相同的公因子. 设d是a与b的公因子, 即d|a且d|b. 注意到, r=aqb, 由性质11.1.1, 有d|r.
17、从而, d|b且d|r, 即d也是b与r的公因子. 反之一样, 设d是b与r的公因子, 即d|b且d|r. 注意到, a=qb+r, 故有d|a. 从而,d|a且d|b, 即d也是a与b的公因子.,辗转相除法欧几里得(Euclid)算法,设整数a, b, 且b0, 求gcd(a,b).做带余除法 a=qb+r, 0r0, 再对b和r做带余除法 b=qr+r, 0r0是a和b的公因子, 有 d |xa+yb, 即 d |1. 从而 d =1, 得证a和b互素.,a和b互素: gcd(a,b)=1两两互素: 任意两个都互素 例如, 8和15互素,而8和12不互素.4, 9, 11, 35两两互素.
18、,实例,例6 设a |c, b |c, 且a与b互素, 则ab |c.证 根据定理19.8, 存在整数x,y,使xa+yb=1. 两边同乘以c,得cxa+cyb=c. 又由a |xa和b |c, 可得ab |cxa. 同理, ab |cyb. 于是, 有ab |cxa+cyb, 即ab|c.,11.3 同余,同余模算术运算模m等价类,同余,定义19.3 设m是正整数, a和b是整数. 如果m|ab, 则称a模m同余于b, 或a与b模m同余, 记作ab(mod m). 如果a与b模m不同余, 则记作a b(mod m).例如, 153(mod 4), 160(mod 4), 14 2(mod 4
19、), 15 16(mod 4). 下述两条都是a与b模m同余的充分必要条件:(1) a mod m = b mod m.(2) a=b+km, 其中k是整数.,同余(续),性质19.10 同余关系是等价关系, 即同余关系具有 自反性. aa(mod m) 传递性. ab(mod m)bc(mod m) ac(mod m). 对称性. ab(mod m) ba(mod m). 缩写 a1a2ak (mod m). 性质19.11 (模算术运算) 若ab(mod m), cd(mod m), 则 acbd(mod m), acbd(mod m), akbk(mod m), 其中k是非负整数. 性质
20、19.12 设d1, d | m, 则ab(mod m) ab(mod d ).性质19.13 设d1, 则ab(mod m) dadb(moddm ).性质19.14 设c,m互素, 则ab(mod m) cacb( modm ).,模m等价类,模m等价类: 在模m同余关系下的等价类. am, 简记作a. Zm: Z在模m同余关系下的商集在Zm上定义加法和乘法如下: a, b, a+b=a+b, ab=ab.,例1 写出Z4的全部元素以及Z4上的加法表和乘法表.,解 Z4=0,1,2,3, 其中i=4k+i |kZ, i=0,1,2,3.,0 1 2 31 2 3 02 3 0 13 0 1
21、 2,0 0 0 0 0 1 2 3 0 2 0 2 0 3 2 1,实例,例2 3455的个位数是多少?,解 设3455的个位数为x,则3455x(mod10).,由341(mod 10), 有 3455=34113+3337(mod 10),故3455的个位数是7.,实例,例3(续) 例如, 中华人民共和国成立日1949年10月1日, C=19, X=49, M=8, d=1,是星期六.中国人民抗日战争胜利日1945年8月15日, C=19, X=45, M=6, d =15,是星期三.,11.4 一次同余方程,一次同余方程模m逆,一次同余方程,定理19.9 方程axc(mod m)有解的
22、充要条件是gcd(a,m)|c.证 充分性. 记d=gcd(a,m), a =da1, m =dm1, c =dc1, 其中a1与m1互素. 由定理19.8, 存在x1和y1使得a1x1+m1y1=1. 令x=c1x1, y=c1y1, 得a1x+m1y=c1. 等式两边同乘d, 得ax+my=c. 所以, axc(mod m).必要性. 设x是方程的解, 则存在y使得ax+my=c. 由性质19.1.1, 有d | c.,一次同余方程: axc(mod m), 其中m0.一次同余方程的解: 使方程成立的整数例如, 2x0(mod 4)的解为x0(mod 2), 2x1(mod 4)无解,实例
23、,例1 解一次同余方程 6x3(mod 9).解 gcd(6,9)=3 | 3, 方程有解.取模9等价类的代表x= 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 检查它们是否是方程的解, 计算结果如下: 6(4)6(1)623(mod 9), 6(3)60630(mod 9), 6(2)61646(mod 9),得方程的解 x= 4, 1, 2(mod 9), 方程的最小正整数解是2.,模m逆,定理19.10 (1) a的模m逆存在的充要条件是a与m互素.(2)设a与m互素, 则在模m下a的模m逆是惟一的.证 (1) 这是定理19.9的直接推论.(2) 设ab11(mod m), ab
24、21(mod m).得a(b1b2)0(mod m). 由a与m互素, b1b20(mod m),得证b1b2(mod m).,定义19.4 如果ab1(mod m), 则称b是a的模m逆, 记作a1(mod m)或a1.a1(mod m)是方程ax1(mod m)的解.,实例,例2 求5的模7逆.,解 5与7互素, 故5的模7逆存在.,方法1. 解方程5x1(mod7).,检查x= 3,2,1,0,1,2,3, 得到 513(mod7).,方法2. 做辗转相除法, 求得整数b,k使得 5b+7k=1, 则b是5的模7逆.,计算如下: 7=5+2, 5=22+1.回代 1=522=52(75)
25、= 3527,得 5 13(mod7).,实例,例2 (续),方法3. 直接观察,53=15, 15 1(mod 7), 得 513(mod7).,11.5 欧拉定理和费马小定理,欧拉函数欧拉定理费马小定理,欧拉(Eular)定理,欧拉函数(n): 0, 1, n1中与n互素的数的个数 例如 (1)= (2)=1, (3)= (4)=2.当n为素数时(n)=n1; 当n为合数时(n)n1. 定理19.11(欧拉定理) 设a与n互素, 则 a(n)1(mod n).,欧拉定理的证明,证 设r1, r2, r(n)是0, 1, n1中与n互素的(n)个数. 由于a与n互素, 对每一个1i (n),
26、 ari也与n互素, 故存在1(i) (n) 使得 arir(i)(mod n). 是1,2, (n)上的映射. 要证 是一个单射.a的模n逆a1存在, a1也与n互素. 假设ij, (i)= (j), 则有ariarj(mod n). 两边同乘a1, 得rirj(mod n), 矛盾. 得证 是1, 2,(n)上的单射, 当然也是1, 2, (n)上的双射. 从而,有而 与n互素, 故a(n)1(mod n).,费马(Fermat)小定理,定理19.12(费马小定理) 设p是素数, a与p互素, 则 ap-11(mod p).另一种形式是, 设p是素数, 则对任意的整数a, apa(mod
27、p). 费马小定理提供了一种不用因子分解就能断定一个数是合数的新途径. 例如, 2914 (mod 9), 可以断定9是合数.,19.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用,19.6.1 产生均匀伪随机数的方法随机数与伪随机数线性同余法与乘同余法,19.6.1 产生均匀伪随机数的方法,随机数随机变量的观察值,伪随机数(0,1)上的均匀分布U(0,1): a(0a1), P0Xa=a,线性同余法选择4个非负整数: 模数m, 乘数a, 常数c和种子数x0, 其中2am, 0cm, 0x0m, 用递推公式产生伪随机数序列: xn=(axn1+c) mod m, n=1,2,取 un=xn/m, n
28、=1,2,作为U(0,1)伪随机数.,线性同余法(续),线性同余法产生的序列的质量取决于m, a和c. 例如m=8, a=3, c=1, x0=2, 得到7,6,3,2,7,6,周期为4 m=8, a=5, c=1, x0=2, 得到3,0,1,6,7,4,5,2,3,0,1, 周期为8. a=0, 得到c, c, c,a=1, 得到x0+c, x0+2c, x0+3c, 乘同余法: c=0(x00)的线性同余法, 即 xn=axn1 mod m, n=1,2,.最常用的均匀伪随机数发生器:m=2311, a=75的乘同余法,它的周期是2312.,19.6.2 密码学,19.6.1恺撒密码明文
29、, 密文, 加密, 解密, 密钥19.6.2 RSA公钥密码私钥密码与公钥密码,密码学概论,密码学是研究信息隐藏的科学，一开始主要用于军事目的，两次世界大战期间，都起到了关键的作用。现在由于计算机广泛应用于商业目的，信息安全是电子商务的关键核心，而密码学是信息和网络安全的核心。同余理论可以用于非常简单的信息保密目的。比如一个英文字母可以用另一个英文字母来代替，如最早的Caesar加密技术,恺撒(Caesar)密码,加密方法: ABCDEFGH I J KLMNOPQRS TUVWXYZ DEFGH I JKLMNO PQRS TUVWXYZ ABC明文: SEE YOU TOMORROW密文:
30、 VHH BRX WRPRUURZ 18 4 4 24 14 20 19 14 12 14 17 17 14 22 21 7 7 1 17 23 22 17 15 17 20 20 17 25加密算法 E(i)=(i+k)mod 26, i=0, 1,25,解密算法 D(i)=(ik)mod 26, i=0, 1,25其中密钥k是一取定的整数, 这里取k=3.,加密算法,线性同余加密算法 E(i)=(ai+b)mod 26, i=0, 1,25,其中a与26互素. 维吉利亚(Vigenere)密码把明文分成若干段, 每一段有n个数字, 密钥k=k1k2kn,加密算法 E(i1i2in)=c1c
31、2cn,其中cj=(ij+kj)mod 26, ij=0,1,25, j=1, 2, n.,RSA公钥密码,私钥密码:加密密钥和解密密钥都必须严格保密公钥密码 (W.Diffie,M.Hellman,1976 ):加密密钥公开,解密密钥保密RSA公钥密码(R. Rivest, A. Shamir, L. Adleeman,1978) 取2个大素数p和q(pq),记n=pq, (n)=(p1)(q1).选择正整数w,w与(n)互素, 设d=w1(mod(n). 将明文数字化, 分成若干段, 每一个明文段mn. 加密算法 c=E(m)=mw modn,解密算法 D(c)=cdmod n,其中加密密
32、钥w和n是公开的, 而p,q,(n)和d是保密的.,解密算法正确性证明,要证m=cdmodn, 即cdm(mod n), 亦即mdwm(modn).由dw1(mod(n), 存在k使得dw=k(n)+1. 有两种可能:(1) m与n互素. 由欧拉定理 m(n)1(mod n),得 mdwmk(n)+1 m(mod n). (2) m与n不互素. 不妨设m=cp且q不整除m. 由费马小定理 mq11(mod q).于是, mk(n)mk(p1)(q1)1k(p1)1 (mod q).,解密算法正确性证明(续),从而存在h使得 mk(n)=hq+1,两边同乘以m, 并注意到m=cp, mk(n)+
33、1=hcpq+m=hcn+m,得证 mk(n)+1m(mod n),即 mdwm(mod n).,模幂乘运算,模幂乘运算ab(mod n)设b=b0+b12+br12r1, 其中bi=0或1, 于是令 A0=a, Ai(Ai1)2(mod n), i=1, 2,r1, 则有,实例,例1 p=43,q=59, n=4359=2537,(n)=4258=2436, w=13. A, B, Z依次用00, 01,25表示, 各占2位. 设明文段m=2106, 即VG, 密文c=210613mod 2537.计算如下: 13=(1101)2, 即13=1+22+23.A0=2106431(mod 25
34、37),A1(431)2560(mod 2537),A25602988(mod 2537),A3(988)2601(mod 2537),210613(431)(988)(601)2321(mod 2537),得密文c=2321.,实例(续),设密文c=0981. d=131937(mod 2436), 明文m=981937(mod 2537). 计算如下: 937=(1110101001)2, A0=981, A19812838(mod 2537), A28382505, A3(505)21325, A41325221, A5212441, A64412868, A7(868)265, A8(65)2849, A9(849)2293, 9819379811325441(65)(849)293 704(mod 2537),得明文m=0704, 即HE.,作业,6（3），13（3），17（2），22，33（2），35（2），36（2），39,
