1、1,5.3 刚体定轴转动定律,2,: 力臂,刚体绕 O z 轴旋转，力 作用在刚体上点 P，且在转动平面内， 为由点O 到力的作用点 P 的径矢。,对转轴 Z 的力矩,补充的内容：对转轴的力矩,3,2）合力矩等于各分力矩的矢量和。,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩：,讨论：,注意：合力矩与合力的矩是不同的概念，不要混淆。,4,3） 刚体内，作用力和反作用力的力矩互相抵消。,O,在计算力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。,力矩的计算：,计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算方法进行计算，最后求和。,5,例：一匀质细杆，长为 l 质
2、量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求：摩擦力的力矩 M阻。,解：,细杆的质量密度：,质元质量：,质元受阻力矩：,细杆受的阻力矩：,杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不 同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,6,例：如图一圆盘面密度为，半径为R，与桌面的摩擦系数为，求：圆盘绕过圆心且和盘面垂直的轴转动时，圆盘所受的摩擦力矩。,O,解：取一小环为面元，,r,dr,若圆盘以0 的初角速度转动， 圆盘转多少圈静止？,问题：,7,一、刚体定轴转动的角动量,刚体上任一质元在垂直于 z 轴的平面内作圆周运动。,刚体对固定轴的角动量为：,对 z 轴的角动量沿 z 轴正向
3、，大小为：,刚体对 z 轴的转动惯量。,（所有质元的动量矩之和）,8,刚体对 z 轴的角动量为：,即：刚体绕定轴转动时，对转轴的角动量，等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。,强调：对于刚体的定轴转动，我们用角动量来描述，而不用动量来描述。,刚体对 z 轴的转动惯量,9,对确定的刚体、给定的转轴，转动惯量是一常数。,刚体对固定轴的转动惯量，等于各质元质量与其到转轴的垂直距离的平方的乘积之和。,物理意义：是刚体转动惯性的量度。,刚体的转动惯量的大小：,1）与刚体的总质量、形状、大小有关。,2）与质量对轴的分布有关。,3）与轴的位置有关。,二、刚体定轴转动的转动惯量（Moment of Iner
4、tia）,（质量不连续分布）,（质量连续分布）,定义式：,10,质量离散分布刚体的转动惯量：,转动惯性的计算方法,: 质量线密度,: 质量面密度,: 质量体密度,11,若连接两小球（视为质点）的轻细硬杆的质量可以忽略，则：,12,通过 o 点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为 JO=,1） 正三角形的各顶点处有一质点 m，用质量不计的细杆连接，系统对通过质心 C 且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为：,3,+ m l 2,= 2ml 2,= m l 2 + (3m) r 2 = 2ml 2,例：质量离散分布刚体: J = mi ri2,m l 2,13,例：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直
5、于圆环平面的质心轴转动，求：转动惯量 J。,解：,分割质量元 dm，各质量元到轴的距离相等，,绕圆环质心轴的转动惯量:,相当于质量为 m 的质点对轴的转动惯量。与质量在环上的分布无关。,14,解：设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为 ，宽为 的圆环。,圆环质量：,所以:,圆环对轴的转动惯量：,转动惯量与质量对轴的分布有关。,例： 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求：通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量。,O,m,dm,圆盘的转动惯量为：,15,解：设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元：,例：一质量为 、长为 的均匀细长棒，求：通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量。,如转轴过端点
6、垂直于棒：,转动惯量与轴的位置有关。,16,转动惯量的计算方法：,1）直接由定义求：,2）复杂形状的刚体，可以先求出简单形体的，再相加。,3）平行轴定理：,转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状、大小、质量分布及转轴的位置。,17,质量为 的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为 ，则对任一与该轴平行，相距为 的转轴的转动惯量为：,圆盘对P 轴的转动惯量为：,）平行轴定理：,18,例：长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一端轴转动，利用平行轴定理，求：转动惯量 。,解：绕细杆质心的转动惯量为：,绕杆的一端转动惯量为：,刚体绕质心轴的转动惯量最小。,19,例：如图所示，求：刚体对经过棒端且与棒垂直的
7、轴的转动惯量？( 棒长为L、圆半径为R ）,20,例：半经为 R ，质量为 m 的均匀圆环，求：对于沿直径转轴的转动惯量,解：圆环的质量密度为：,在环上取质量元 dm，dm 距转轴为 r,21,根据对称性有：,由垂直轴定理：,*另解,对过环心并与环垂直的转轴的转动惯量:,22,例：一长为 a、宽为 b 的匀质矩形薄平板，质量为 m，求：1）对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量； 2）对与平板一条长边重合的轴的转动惯量。,解：垂直向上为 y 轴，板的质量面密度为：,在板上取长为a、宽为dy的小面元,23,或由平行轴定理：,转轴与长边重合,24,牛顿第二定律指出：力使质点产生加速度。,事实表明
8、：,要改变一个物体的转动状态，使之产生角加速度，光有力的作用是不够的，必须有力矩的作用。,比如：门绕轴的转动。,对刚体动力学规律的研究可以比照质点的方式进行，只要把线量换成相应的角量就行了。,刚体定轴转动中的角加速度是怎样产生的呢？,力矩：反映力的大小、方向、作用点对物体转动 的影响。,三、刚体定轴转动定律（Theorem of Rotation）,25,转动定律的推导：,取刚体内任一质元mi ，它所受合外力为 ，内力为 。,（只考虑合外力与内力均在转动平面内的情形。）,对mi 用牛顿第二定律：,（法向力作用线通过转轴，力矩为零。）,两边乘以ri ：,求和：,切线方向：,26,用 M 表示合外
9、力矩，有：, 转动定律,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,说明:,2） M、J、 是对同一轴而言的。,3） 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。,1） 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。,4） 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。,合外力矩,内力矩的和（为零）,27,转动定律的应用题目类型：1）已知：转动惯量和力矩，求：角加速度；2）已知：转动惯量和角加速度，求：力矩；3）已知：力矩和角加速度，求：转动惯量。解题步骤：1）确定研究对象，采用隔离法；2）分析受力情况，画出受力图，找出力矩；3）选取适当的参考系与坐标系，使运算简化；4）列运动方程；5）解
10、方程，进行必要的讨论。,28,1）力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的；2）可先设定转轴的正方向，以便确定已知力矩或 角加速度、角速度的正负；3）系统中既有转动物体又有平动物体时，则： 对转动物体按转动定律列方程； 对平动物体按牛顿定律列方程。,应用转动定律解题时，应该注意以下几点：,29,例：滑轮半径为r 。 （设绳与滑轮间无相对滑动）求：1）当m2与桌面间的摩擦系数为时，物体的 加速度a 及张力 T1 与 T2各为多少？ 2）若桌面光滑，再求以上各量。,解：,力和力矩分析，,按隔离法，,建坐标。,对质点用牛顿定律,对刚体用转动定律,限制性条件,30,解得：,31,例：一长为 质量为 匀质细杆
11、竖直放置，其下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动。由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动。试计算：细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度。,解：细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得：,32,式中,得,由角加速度的定义:,33,例：物体 m1 m2 ，定滑轮（R，m）轮轴无摩擦，绳子质量忽略，不伸长、不打滑。求：重物的加速度及绳中张力。,解：,（转动）,（平动）,（线-角）,34,35,如果考虑轴上摩擦力矩（Mf 不为 0）时，转动式为：,36,若不计轴上摩擦、不计滑轮质量 （Mf = 0, m = 0），有：
12、,37,例：一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计。求：,1) 飞轮的角加速度；2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。,解 ： 1),两者区别?,38,2）,例：一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计。求：,1) 飞轮的角加速度；2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度。,39,例：在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为
13、m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J。求：滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2。,40,例：在半径分别为R1和R2的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳，各挂质量为m1、m2的物体。如滑轮与轴间的摩擦不计，滑轮的转动惯量为J；求：滑轮的角加速度及各绳中的张力T1、T2。,解：设m1向下运动，,41,联立解得：,42,讨论：,A）当 时，物体运动方向与所设相同，反之则相反；,B）当 时， ，即滑轮静止或匀速转动；,C）当 时，则为定滑轮的情况。,43,例：圆盘以 0 在桌面上转动，受摩擦力矩作用而静止，求：初始时刻到圆盘静止所需时间。,解：,取一质元,由转动定律：,摩擦力矩：,44,例：一个质量为M、半径为 R 的定滑轮上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为 m 的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求：物体 m由静止下落高度 h 时的速度和此时滑轮的角速度。,45,解：,46,47,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,
