1、第三节 条件概率与乘法公式,条件概率乘法公式全概率公式与贝叶斯公式小结,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7
2、件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,即“事件B已发生”相当给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,3. 条件概率的性质(自行验证),2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率
3、的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减样本空间所含样本点总数,在缩减样本空间中A所含样本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1,解法2,解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用 定义,在B发生后的缩减样本空间中计算,例2 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,考题,
4、1.设A与B互不相容,且P(B)0,则P(A|B)=_,2.设A与B为两事件,且P(A)=0.7, P(B)=0.6,5、概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系,联系：事件A，B都发生了,区别：,（1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。,（2）样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P（AB）中，样本空间仍为 S 。,因而有,生活中的概率问题 据说有个人很怕坐飞机说是飞机上有恐怖分子放炸弹他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的可能性是百万分之一百万分之一虽然很小，但还没小到可以忽略不计的程度，所以他从来不坐飞机可是有一天
5、有人在机场看见他，感到很奇怪就问他，你不是说飞机上有炸弹吗？他说我又问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的可能性是百万分之一，但每架飞机上同时有两棵炸弹的可能性只有百万的平方分之一，也就是说只有万亿分之一这已经小到可以忽略不计了,朋友说这数字没错，但两棵炸弹与你坐不坐飞机有什么关系？他很得意的说：当然有关系啦不是说同时有两棵炸弹的可能性很小吗，我现在自带一颗如果飞机上另外再有一颗炸弹的话，这架飞机上就同时有两棵炸弹而我们知道这几乎是不可能的，所以我可以放心地去坐飞机,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P
6、(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用它们可计算两个事件同时发生的概率,1、定义,2、推广,一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.,后抽比先抽的确实吃亏吗？,例 抽签问题,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.,显然，P(
7、A1)=1/5，P( )4/5,第1个人抽到入场券的概率是1/5.,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”,因为若第2个人抽到了入场券，第1个人肯定没抽到.,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式,P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的正确解答.,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到. 因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.,抽签不必争先恐后.,也就是说，,一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每
8、次任取一只，作不放回抽样。 设事件A1为“第一次取到一等品”，事件A2为“第二次取到一 等品”，求概率P(A2)。,如何将一个复杂概率计算问题分解为简单计算问题之和?,例,S,三、全概率公式,有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,例,A2,A1,A3,B,样本空间的分划：,设 为样本空间，若事件 满足：,两两不相容，即,想法,将 的计算分解到,上计算然后求和,通常要求,于是,设 为样本空间 的一个分划，即,对任何事件 有,全概率公式,说明 全概率公式的主要用处在于
9、它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,某一事件A的发生有各种可能的原因 ，如果A是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则A发生的概率是,每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.,P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?,设事件
10、 B 为“任取一件为次品”,解,由全概率公式得,30%,20%,50%,2%,1%,1%,有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,例,有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率 .,1,1红4白,例,四、贝叶斯公式,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B
11、 =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,(贝叶斯公式),定理,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Ak的概率.,贝叶斯 Thomas Bayes，英国数学家，1702年出生于伦敦，做过神甫. 1742年成为英国皇家学会会员. 1763年4月7日逝世. 贝叶斯在数学方面主要研究概率论. 他对统计推理的主要贡献是使用了“逆概率”这个概念, 在1763年提出了著名的贝叶斯公式.,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例4 已知三家工厂的市场占有率分别为30、
12、20、50, 次品率分别为3、3、1.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3, 0.2, 0.5,0.45, 0.3, 0.25,解,全概率公式可看成 “由原因推结果” ,而贝叶斯公式的作用在于 “由结果推原因” :现在一个 “结果” A 已经发生了，在众多可能的 “原因” 中,到底是哪一个导致了这一结果？,故贝叶斯公式也称为“逆概公式”.,在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,丙,乙,甲,
13、P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后, 这个估计就有了变化.,P(A1 | B),知道B发生后,P(A2 | B),P(A3 | B),偏小,最大,在实际工作中检查的指标 B 一般有多个，综合这些后验概率，当然会对诊断有很大帮助，在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这一方法是有实用价值的.,下面举一个实际的医学例子，说明贝叶斯公式在解决实际问题中的作用.,解,例5,因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当小.当然，医生在公布某人患肝癌之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其他检验手段.,思考：诊断为无病,而确实没
14、有患病的概率为多少？,伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊“狼来了！狼来了！”，山下的村民闻声便去打狼，发现狼没有来；第二天仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他了。,现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个小孩的可信程度是如何下降的。,首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。不妨设村民过去对这个小孩的印象为,我们现在用贝叶斯公式来求,，亦及这个小孩,说了一次谎后，村民对他的可信程度的改变。,在贝叶斯公式中我们要用到,，这两个概,率的含义是：前者为“可信”(B)的孩子“说谎”(A)的可能,性，后者为“不可信”的孩子“说谎”的可能性。设：,第一次村民上山打狼，发现狼没有来，即小孩说了谎（A）。村民根据这个信息，对小孩的可信程度改变为（用贝叶斯公式）,这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来的0.8调整为0.444，也就是,在此基础上，我们再用一次贝叶斯公式计算,亦即这个小孩第二次说谎后，村民对他的可信程度改变为：,这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度已经从0.8下降到0.138，如此低的可信程度，村民听到第三次呼叫怎么再会上山打狼呢？,1.条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,小结,乘法定理,
