1、4 等可能概型（古典概型）,准备知识 基本计数原理,1 加法原理,设完成一件事有 m 种方式，,第一种方式有 n1 种方法，,第二种方式有 n2 种方法，, ；,第 m 种方式有 nm 种方法，,无论通过哪种方式，都可以完成这件事，,则完成这件事总共有 n1 + n2 + + nm 种不同方法,例如 从北京到上海可以坐火车也可以坐飞机， 如果每日 火车有 3 个班次北京 上海 飞机有 2 个班次 则此人有 3+2=5 种方法从北京到上海,2 乘法原理,设完成一件事有 m 个步骤，,第一个步骤有 n1 种方法，,第二个步骤有 n2 种方法，,第 m 个步骤有 nm 种方法，,必须通过每一步骤，才
2、算完成这件事，,则完成这件事总共有 n1 n2 nm 种不同方法, ；,例如 有一位女士有 2 件上衣和 3 条裙子， 则该女士可以有,23=6 种打扮方式,（1） 有重复排列 从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 次， 每次取一个，记录其结果后放回，将记录 结果排成一列,共有 nk 种排列方式,n,n,n,n,1,2,k,3 排列,（2） 无重复排列 从含有 n 个元素的集合中随机抽取 k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素 排成一列,共有排列方式,n,n-1,n-2,n-k+1,1,2,k,k = n 时称为全排列,从 n 个不同元素中任取 k 个元素并成一组 （ 不考虑其间顺序
3、）称为一个组合，此种 组合总数为,排列与组合关系式,4 组合,组合的常用公式,分组公式,n 个元素,因为,n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目分别为 r1, r2, , rk 的分法总数为,假定随机试验 E 有有限个可能的结果，并且 假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 我们找不到任何理由认为其中某一结果出现的 机会比另一结果出现的机会大或小，我们只好 认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会。,我们把这类试验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,一 等可能概型 （古典概型）,若随机试验 E 满足：,（1）样本空间 S 只含有有限个元素 ；,则称试验
4、 E 为等可能性概型（古典概型）,（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同,设 S =e1, e2, en 由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件两两互不相容，所以,二 等可能概型中事件概率的计算公式,若事件 A 包含 k 个基本事件，即,则有,例1 (取球问题)一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方式： (a) 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色 后放回袋中，搅匀后再取一球。 (b) 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中， 第二次从剩余的球中再取一球。 分别就上面两种方式求：,1） 取到的两只都是白球的概率；2） 取到的两只球颜
5、色相同的概率； 3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率； 4） 第一次取到红球，第二次取到白球的概率。,解 从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件 设 A = “ 取到的两只都是白球 ” B = “ 取到的两只球颜色相同 ” C = “ 取到的两只球中至少有一只是白球 ” D =“ 第一次取到红球，第二次取到白球 ” (a) 放回抽样,样本空间中样本点总数 n=66=36 （是可重复排列）,(b) 不放回抽样,样本空间 S 中样本点总数（无重复排列）,例2 （超几何分布概型，二项分布概型）设有 N 件 产品，其中有 D件次品，今从中任取 n 件， 问其中恰有 k ( k D ) 件次品的
6、概率是多少？ （不放回抽样和放回抽样两种方式),解 (1) 不放回抽样,于是所求的概率为：,此式即为超几何分布的概率公式,而在 N 件产品中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有 种,从 N 件产品中有放回地抽取 n 件产品进行排列，可能的排列数为 个，将每一排列看作基本事件，总数为 。,于是所求的概率为：,此式即为二项分布的概率公式。,(2) 放回抽样,此结果与次序 k 无关,例3 (抽签与顺序无关)袋中有 a 只白球和 b 只红球。 现在把球一只只随机的取出来不放回，求第 k 次取出的一只球是白球的概率。,解 设 A =“第 k 次取出的一只球是白球”,样本空间 S 中样本点总数,A
7、包含的样本点个数为,例4 (分球入盒问题)将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中(设盒子的容量不限）， 求下列事件的概率： 1）A = 某指定的一个盒子中没有球； 2）B = 某指定的n个盒子中各有一个球； 3）C = 恰有n个盒子中各有一个球； 4）D = 某指定的一个盒子中恰有m个球 (mn)。,解 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有 种放法 1） A = 某指定的一个盒子中没有球,某指定的盒子中不能放球。因此，n 个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N -1 个盒子中，总共有 种放法。因此,2） B = 某指定的 n 个盒子中各有一个球,某指定的 n 个盒子中，每个盒
8、子中各放一球，总共有 n! 种放法。因此,3） C = 恰有 n 个盒子中各有一个球,恰有 n 个盒子，其中各有一球，即 N 个盒子中任选出 n 个，选取的种数为 ；,在这 n 个盒子中各分配一个球，n 个盒中各有 1 球(同上)，有 n! 种放法；总共有 种放法。,因此,总共有 Cnm(N-1)n-m 种放法。,4） D = 某指定的一个盒子中恰有 m 个球 (mn),指定的一个盒子中，恰好有 m 个球，这 m 个球可从 n个球中任意选取，选取的种数为 Cnm ；,而其余 n-m 个球可以任意分配到其余的 N-1 个盒子中去，有 (N-1)n-m 种放法；,因此,例如 (生日问题)： 某人群
9、有 n 个人，他们中 至少有两人生日相同的概率有多大？,解 设每个人在一年(按 365 天计)内每天出生的 可能性都相同，相当于 n 个球放入 N = 365 个盒子中。则他们生日各不相同的概率（恰有 n 个盒子中各有一个球）为 因此，n 个人中至少有两人生日相同的概率为,人数 至少有两人同生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994,例5 将 n 只球随机地放入 N（ N n）个盒子中去 （设盒子至多容纳一个球）， 求下列事件的概率：,1） B = 某指定的n个盒子
10、中各有一个球；2） C = 恰有n个盒子中各有一个球。,解 把 n 个球随机地分配到 N 个盒子中 (nN)， 共有 种放法,1） B = 某指定的 n 个盒子中各有一个球,指定的 n 个盒子中，每个盒子中各放一球，总共有 n! 种放法。因此,2） C = 恰有 n 个盒子中各有一个球,恰有 n 个盒子，其中各有一球，即 N 个盒子中任选出 n 个，选取的种数为 ；,在这 n 个盒子中各分配一个球，n 个盒中各有 1 球(同上)，有 n! 种放法；总共有 种放法。,因此,分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)
11、生日问题：n 个人的生日的可能情况（每个人生日是 365 天之一），相当于 n 个球放入 N=365 个盒子中的可能情况(设一年 365天 )；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有 n 名旅客，它在 N 个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于 n 个球分到 N 个盒子；(3)住房分配问题：n 个人被分配到 N 个房间中；(4)印刷错误问题：n 个印刷错误可能出现在一本具有N 页书的任何一页；(5)有 n 封信随机的投放在 N 个信筒中（筒内信数不限）；等等。,例6 (分组问题)将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个
12、班各分配到一名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？,解 15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法 总数为：,将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级 都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余12 名新生平均分配到 3 个班级中的分法共有 种,每个班各分配到一名优秀生的分法总数为：,于是所求的概率为,三名优秀生分配在同一班级内,其余12名新生，一个班级分2名，另外两班各分5名,(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：,例7 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取到 的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的 概率是多少？,随机取数问题,其中 B = 8, 16, 2000 AB = 24, 48 1992 ,6，12，181998 共 333 个，,所以能被 6 整除的整数为,因此所求的概率为,作业 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14,
