1、第章 数系的扩充与复数的概念,.1 数系的扩充和复数的概念,数系的扩充,用图形表示包含关系：,复习回顾,无实根,自然数,分数,有理数,无理数,实数,分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。,整数,负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。,无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。,在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？,知识引入,因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根。,问5：引入一个新数c？,实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginary
2、 number unit.所以，用“i”来表示这个新数。,问6：引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？,引入一个新数：,探索研究：,如何解决“在实数范围中开方运算不总实施的矛盾”？,现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （1）i2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。,思考:,a+bi，aR，bR,在i 规定下，i与实数加乘的结果形式如何？,复数有关概念,复数Z=a+bi (aR， bR )把实数a，b叫做 复数的实部和虚部。,全体复数所组
3、成的集合叫复数集，记作C。,注意:复数通常用字母z表示，即复数a+bi（aR，bR)可记作:z =a+bi （aR，bR），把这一表示形式叫做复数的代数形式。,请同学观察复数的代数形式会发现什么?,复数的代数形式：,通常用字母 z 表示，即,其中 称为虚数单位。,复数a+bi,i为-1的一个 、-1的另一个 ;,一般地，a(a0)的平方根为 、,平方根,平方根为-i,- a (a0)的平方根为,复数z=a+bi,(a、bR),(b=0),分数,不循环小数,虚数,(b0),特别的当 a=0 时,纯虚数,a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 条件.,必要但不充分,复数a+bi,2.复数的分类
4、：,复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？,思考？,复数集,虚数集,实数集,纯虚数集,练一练：,1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5 +8,0,2、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数,例1 实数m取什么值时，复数 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？,解: （1）当 ，即 时，复数z 是实数,（2）当 ，即 时，复数z 是虚数,（3）当,即 时，复数z 是纯虚数,练习:当m为何实数时，复数 是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯
5、虚数,思考：,如何定义两个复数的相等？,注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。,0,0,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,例2 已知 ，其中 求,解：更具复数相等的定义，得方程组,解得,如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,小结:,1.虚数单位i的引入；,计算：,1,-1,B,复数的发展史在19世纪可没那么简单第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利有名的数学“怪杰”卡丹，他是1545年开始讨论这种数的，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字虚数但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位. 后来德国数学家高斯给出了复数的定义，但他们仍感到这种数有点虚无缥缈，尽管他们也感到它的作用1830年，高斯详细论述了用直角坐标系的复平面上的点表示复数abi，使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.,
