1、22.2二次函数的性质与图象,知识整合,1定义函数_叫做二次函数，它的定义域为_2性质(1)函数的图象是一条_，它的顶点坐标为_，它的对称轴为_(2)当_时，抛物线开口向上，函数在_处取得最小值_，在区间_上是减函数，在区间_上是增函数,(3)当_时，抛物线开口向下，函数在_处取得最大值_，在区间_上是减函数，在区间_上是增函数(4)当二次函数图象的_时，二次函数为偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数(5)在yax2(a0)中，若a0，a越大，抛物线的开口越_，a越小，抛物线的开口越_；反之，若a0，a越大，抛物线的开口越_，a越小，抛物线的开口越_总之，yax2(a0)中，若|a|越大，抛物
2、线的开口越_，|a|越小，抛物线的开口越_,3三种形式(1)一般式：_，其中_是开口方向与大小，_是y轴上的截距，而_是对称轴(2)顶点式(配方式)：_，其中_是抛物线的顶点坐标h_，k_.(3)两根式(因式分解)：_，其中x1，x2是抛物线与x轴_,名师解答,二次函数性质常见的有哪些综合应用？(1)关于对称轴问题：若二次函数f(x)满足f(tx)f(tx)，则f(x)关于直线xt对称，这一性质，对于一般函数也适用(2)关于二次函数在闭区间上的最值问题：求二次函数f(x)ax2bxc(a0)在闭区间p，q上的最值时，易错认为最大值是f(q)，最小值是f(p)，总是一错再错其突破方法是结合二次函
3、数f(x)在闭区间p，q上的图象，依据函数的单调性求出如：求函数f(x)x22x，x2,3的最大值和最小值,解：画出函数f(x)x22x，x2,3的图象，如右图所示，观察图象，得函数f(x)x22x在区间2,1上是减函数，则此时最大值是f(2)8，最小值是f(1)1；函数f(x)x22x在区间1,3上是增函数，则此时最大值是f(3)3，最小值是f(1)1；则函数f(x)x22x，x2,3的最大值是8，最小值是1.,深入学习,题型一 求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数分析：由题目条件知二次函数过(2，1)，(1，1)
4、点，且知其最大值，所以可应用一般式、交点式和顶点式待定系数法解题,评析：求二次函数的解析式的关键是待定系数法由题目条件，合理地选择二次函数解析式的表达形式，最简地求出解析式是关键之关键,变式训练 1已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1x)f(1x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)0的两根的立方和等于17，求f(x)的解析式,评析：求二次函数解析式的问题一般用待定系数法，其关键在于根据题设合理选用二次函数的解析式的形式本题解答中，注意合理使用a与x1，x2之间的关系,分析：利用配方法或公式法求得抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x6.令x0，求得y21，它与y轴交点为
5、(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上；令y0， x26x210.0，方程无实数解，抛物线与x轴没有交点因此，画此函数图象，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可,评析：有些二次函数与y轴的交点距离顶点太远，画图时利用不上，这时需利用函数的对称性列表以顶点为中心，对称地选取两对点(每对对称点的横坐标与顶点横坐标的差的绝对值相等，纵坐标相等)，然后描出这五个点，顺次连接并延伸，就得到该函数的图象,变式训练 2作出函数y|x22x|的图象并写出其值域分析：先化简，再作图，根据图象写值域，这是函数图象的一个重要作用,解：由x22x0得x0，或x2；由x2
6、2x0得0x2.其函数图象见下图，y0，),评析：讨论二次函数的性质一定要结合二次函数的图象，为了方便，通常画草图，有时可以省去y轴，利用单调性比较两个数值的大小，关键是利用对称性将它们转化到同一单调区间上，这里体现了数形结合及化归等重要思想方法,题型四 二次函数图象对称性的应用【例4】如果f(x)x2bxc对任意x都有f(2x)f(2x)，那么()Af(2)f(1)f(4)Bf(1)f(2)f(4)Cf(2)f(4)f(1)Df(4)f(2)f(1),答案：A解析：由f(2x)f(2x)知图象关于x2对称，故在(，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，故f(2)f(3)f(1)f(4)故选A
7、.,变式训练 4将函数y3x26x1配方，确定其对称轴和顶点的坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图象分析：配方后，利用二次函数的性质解决解：y3x26x13(x1)24，由于x2项的系数为负数，所以函数图象开口向下；,整体探究解读,题型一 二次函数的最值问题【例1】已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值,题型二 一元二次方程根的分布问题【例2】若方程2ax2x10有两个不等实根，在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()Aa1C1a1 D0a1,答案：B解析：设f(x)2ax2x1.由题意知，此函数为二次函数，其图象为抛物线，此抛物线与x轴有一个交
8、点且这个交点在(0,1)内故f(0)f(1)1.选B.,题型三 二次函数的应用【例3】绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？分析：构建二次函数模型，转化为二次函数的最值问题,评析：解应用题应注意应用题的实际意义,【例4】如图，二次函数ymx24m的顶点坐标为(0,2)，矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内(1)求二次函数的解析式；(2)设点A的坐标为(x，y)，试求矩形ABCD的周长P关于x的函数关系，并求x的取值范围；(3)是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论,分析：(1)抛物线的顶点为(0,4m)，易求m.(2)A点坐标为(x，mx24m)，x的范围受交点的横坐标限制(3)先假设存在，看能否推出矛盾,题型四 数形结合思想的应用【例5】已知f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围分析：当x2,2时，f(x)0恒成立，问题转化为求f(x)在2,2上的最小值本题中对称轴变动，需分类讨论对称轴与区间的位置关系,
