1、42直线、圆的位置关系,42.1直线与圆的位置关系,一、阅读教材P126128回答1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0，圆C：(xa)2(yb)2r2，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，联立得方程组，消去x或y后，所得一元二次方程的根的判别式为若直线和圆相交，则满足或若直线和圆相切，则满足或若直线和圆相离，则满足或.2直线l与圆交于A、B两点，圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则弦长|AB| .,d0,dr,0,dr,0，则相交；若有两组相同的实数解，即0，则相切；若无实数解，即r时，直线与圆相离,3圆的切线方程的求法求过圆C外一点P(x0，y0)的C的切线方程几何方法：设切线yy0
2、k(xx0)，由圆心C到切线距离等于圆的半径r，列方程求k，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为xx0.,代数方法：设切线yy0k(xx0)与圆方程联立，消元由0求出k，讨论方法同上,4(1)直线若过定点，定点在圆内则直线与圆必相交(2)直线与圆相离时，圆上点到直线的距离d，圆心到直线距离为m，则mrdmr；直线与圆相交时，圆上点到直线距离为d，圆心到直线距离为m，则0dmr.(3)过圆心的直线将圆平分，垂直平分弦的直线过圆心(4)过圆内一点的直线被圆截得最长弦为直径，最短弦为以该点为中点的弦与圆有关的最值问题，常常用数形结合法求解,例1已知圆的方程是x2y22，直线yxb，当b为何值
3、时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点，没有公共点？解析解法1：将yxb代入x2y22中消去y得2x22bxb220其判别式(2b)28(b22)4(b2)(b2)，当20，方程有两个不等实根，直线与圆有两个公共点,当b2时，0，方程有两个相等实根，直线与圆有一个公共点当b2时，r，即b2时，直线与圆相离，无公共点,点评讨论直线与圆的位置关系，可以用代数法，即将直线与圆的方程联立，消元后用判别式作判断；也可以用几何法，求圆心到直线的距离d和圆的半径r，用d与r大小判断一般地，说几何法更简便,(1)直线3x4y60与圆(x2)2(y3)24的位置关系是()A相离B相切C相交且过圆心 D相交但不
4、过圆心(2)若直线ykx2k与圆(x3)2y21恒有两个交点，则实数k的取值范围为(),(3)直线ykx被圆x2y22截得的弦AB长等于()A4 B2答案(1)C(2)A(3)C解析(1)圆心(2,3)在直线3x4y60上，直线与圆相交且过圆心，故选C.,(2)设圆的切线方程为yxb，代入圆的方程，整理得2x22bxb240，直线与圆相切(2b)242(b24)0.,解法2：设切点为M(x0，y0)，则过点M的切线方程为,总结评述：求过定点的圆的切线方程，一定要先判断点是在圆上还是在圆外(1)可以利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程也可利用判别式的值等于0求切线方程若设出切线斜率，用点斜式写
5、出切线方程，应注意斜率不存在的情况(2)也可以先求出以Q和圆x2y24的圆心(原点)O为端点的线段OQ为直径的圆的方程，进而求出两圆交点即切点的坐标，由两点式求得切线方程,(09全国文)已知圆O：x2y25和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_,若x、y满足(x2)2y23，那么xy的取值范围是_；(x2)2(y2)2的取值范围是_解析令xyt，则ytx,点评此题解法较多，可用代数法，也可用几何法，数形结合的思想在这里起主导作用，望细致体会.,例4自点A(3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y24x4y70相切，求光线l所
6、在直线的方程,光线l所在直线的方程为3x4y30或4x3y30.解法2：已知圆(x2)2(y2)21关于x轴的对称圆C的方程为(x2)2(y2)21，如图所示,可设光线l所在直线方程为y3k(x3)，直线l与圆C相切，圆心C(2，2)到直线l的距离,点评解法1用的是常规方法待定系数法，关键在于运用已知条件去确定系数，而解法2主要运用对称思想，这样可使运算过程得以简化.,点评(1)直线l与圆有公共点，可利用dr或0求解(2)半径r、半弦m、弦心距d满足d2m2r2是解决弦长问题的主要途径(3)直线l与圆相离时，设圆心C到l距离为d，圆半径为r，则圆上点到直线距离的最大值为dr，最小值为dr，自己
7、想想l与圆C相切(或相交)时呢？(4)点P(x0，y0)在圆C内，圆半径为r，|PC|d，则圆上所有点中到P距离的最大值为dr，最小值为rd；过P的所有直线与圆相交弦中，最长弦为直径，最短弦为与PC垂直的弦，此时P为弦的中点,(1)已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()(2)已知圆C的圆心与点P(2,1)关于直线yx1对称，直线3x4y110与圆C相交于A、B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_(3)直线l与圆x2y22x4ya0(a3)相交于两点A、B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为_,(4)由点P(2
8、,0)向圆C：x2y21所引切线长为_解析(1)圆x2y26x8y0的圆心(3,4)，半径为5.由题意知，AC为圆的直径且BDAC，,(2)设圆的圆心坐标为(a，b)，由题意得a0，b1，圆心到直线3x4y110的距离所求圆的方程为x2(y1)218.,(3)已知圆x2y22x4ya0的圆心C(1，2)，弦AB的中点D(0,1)，由圆的几何性质知，CDl，kCD1，kl1，l：y11(x0)，即xy10.,答案D,2过点P(2,3)引圆x2y22x4y40的切线，其方程是()Ax2B12x5y90C5x12y260Dx2和12x5y90答案D解析点P在圆外，故过P必有两条切线，选D.,二、填空
9、题3(2010天津文，14)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_答案(x1)2y22解析在直线方程xy10中，令y0得，x1，圆心坐标为(1,0)，,4若直线3x4ym0与圆x2y22x4y40没有公共点，则实数m的取值范围是_答案(，0)(10，)解析圆x2y22x4y40的圆心坐标为(1，2)，半径r1，,5将圆x2y21沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是_；若过点(3,0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是_解析将圆x2y21沿x轴正向平移1个单位得到的圆C，其半径仍为1，圆心由(0,0)变为(1,0)，所以其方程为(x1)2y21.设过点(3,0)的直线l的斜率为k，则方程为yk(x3)，即kxy3k0.,又与圆C相切，圆心(1,0)到直线kxy3k0的距离等于半径1.,6点A(3,5)是圆x2y24x8y800的一条弦的中点，则这条弦所在直线的方程为_答案xy80解析x2y24x8y800的圆心B(2,4),
