1、41圆 的 方 程,41.1圆的标准方程,1平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程为 ，此方程称为圆的标准方程圆心在原点，半径为r的圆的方程为.2点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆的半径为r.当 时，点在圆外；当 时，点在圆上；当 时，点在圆内3若点P(m，n)在圆x2y2r2的内部，则m、n、r的关系式是.若点P(m，n)在圆x2y2r2的外部，则m、n、r的关系式是.,(xa)2,(yb)2r2,x2y2r2,dr,m2n2r2,dr,d0)圆与x轴相切于点(5,0)，r|b|，a5，圆在y轴上截得的弦长为10，,点评圆与x轴相切时，圆的半径r
2、与圆心的纵坐标的关系是r|b|.圆与y轴相切时圆的半径r与圆心的横坐标的关系是r|a|.解法1根据题意直接设圆的方程为(x5)2(yb)2b2，利用弦长得出了b的方程，解出b求得圆的方程,例3有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时“点P”所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点？解析以A、B所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系，则
3、A(5,0)，B(5,0)(如下图),如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽_米？,解析以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶点的铅垂直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，2)设圆的半径为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2将点A的坐标(6，2)代入方程，解得r10圆的方程x2(y10)2100,总结评述：1.求圆的方程有两类方法：(1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)的方程；(2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程其一般步骤是
4、：根据题意选择方程的形式标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及弦长，故设标准形式较简单)；利用条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程，圆的一般形式方程下节学习,2下面就圆的几何性质的应用作一探索：(1)圆心在弦的垂直平分线上过点A(1,2)，B(2,2)和C(1,4)的圆的方程为_,(2)圆上任一点到圆心的距离等于圆的半径圆心为C(1,3)，且过点M(1,0)的圆的方程为_答案(x1)2(y3)213(3)圆心到圆的切线的距离等于圆的半径,(08山东文)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是(
5、),解析设圆心坐标为(x，y)，由题意知x0，y1.答案B,一、选择题1台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5小时B1小时C1.5小时 D2小时答案B,解析以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则台风中心P(10t,10t)，B(40,0)以B城市为圆心，30km为半径的圆方程为(x40)2y2302，当点P在圆内时，B城市处于危险区内，,二、填空题2根据下列所给不同条件求圆的方程(1)圆心为C(1,3)，半径为2的圆的方程为_(2)圆心为C(1,3)，与直
6、线xy4相切的圆的方程为_(3)圆心为C(1,3)，且过点M(0,2)的圆的方程为_(4)过点A(1,2)、B(3,2)和C(1,6)的圆的方程为_,(5)过点A(1，4)和B(3，2)，半径为2的圆的方程为_(6)A(2,4)，B(4,2)，以线段AB为直径的圆的方程为_(7)过点A(0,4)和B(4,0)，圆心在直线yx上的圆的方程为_(8)过点A(2,4)，B(1,1)被直线x2y0平分的圆的方程为_(9)已知ABC的三个顶点的坐标为(0,0)，(1,0)和(0,2)，则ABC的内切圆方程为_,(10)过点P(1,0)且与y轴相切于点Q(0,3)的圆的方程为_答案(1)(x1)2(y3)24(2)(x1)2(y3)218(3)(x1)2(y3)22(4)(x2)2(y4)25(5)(x1)2(y2)24或(x3)2(y4)24(6)(x1)2(y3)210(7)x2y216(8)(x2)2(y1)29,(5)设圆心C(a，b)，则|CA|CB|2，,圆方程为x2y216.解法2：圆心C在线段AB的垂直平分线l：xy0上，又在直线yx上，,
