1、一、条件概率与事件的独立性 求条件概率,一般有两种方法，一是对于古典概型一类的题目，可以采用减少基本事件个数的办法来计算，即 ；二是直接根据定义来计算，即 相互独立事件是一类重要的事件，若事件A与B相互独立，则P（AB）P（A）P（B）；互斥事件A与B，则有公式P（A+B）P（A）+P（B）.,求事件概率的关键是能够把这个事件“分解”成若干个小事件，然后利用概率的加法公式（互斥事件），乘法公式（独立事件）等来求解；有时一个事件还可分解成n次独立重复试验，可以用n次独立重复试验发生k次的二项分布公式计算其概率.,例1（2011辽宁高考）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 和 ，
2、两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )【解析】选B.两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A，B.则,例2 随机掷出两颗均匀骰子，已知第一颗骰子掷出6点，试求“掷出点数之和不小于10” 的概率.【解析】设“掷出点数之和不小于10”为事件A，“第一颗掷出点数6”为事件B，那么： 即所求的概率是 .,例3 甲、乙、丙三名乒乓球选手间的胜负情况如下：甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，本次竞赛按以下顺序进行：第一轮：甲与乙进行比赛；第二轮：第一轮的胜者与丙进行比赛；第三轮：第二轮的胜者与第一轮的败者再进行比赛；第四轮：第三轮的胜者
3、与第二轮的败者进行比赛.求：（1）乙选手连胜四轮的概率；（2）丙选手连胜三轮的概率.,【解析】（1）乙选手要连胜四轮，以下这些相互独立事件必须发生，即第一轮乙胜甲，第二轮乙胜丙，第三轮乙再胜甲，第四轮乙再胜丙，根据相互独立事件同时发生的概率计算公式得：P=(1-0.4)0.5(1-0.4)0.5=0.09；,（2）丙选手连胜三轮分两种情况：第一轮甲胜乙，则第二轮丙胜甲，第三轮丙胜乙，第四轮丙胜甲，得丙连胜三轮的概率是P1=0.40.6(1-0.5)0.6=0.072,第一轮乙胜甲，则第二轮丙胜乙，第三轮丙胜甲，第四轮丙胜乙，得丙连胜三轮的概率是P2=(1-0.4)(1-0.5)0.6(1-0.
4、5)=0.09，因为两种情况的事件是互斥事件，所以P=P1+P2=0.072+0.09=0.162，即丙选手连胜三轮的概率是0.162.,例4 据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.（1）求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；（2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率.,【解析】（1）设事件A表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B表示“一个月内被投诉的次数为1”.P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.5=0.9.(2)设事件Ai表示“第i个月被投诉的次数为0”，事件B
5、i表示“第i个月被投诉的次数为1”.事件Ci表示“第i个月被投诉的次数为2”，事件D表示“两个月内被投诉2次”，,P(Ai)=0.4,P(Bi)=0.5,P(Ci)=0.1(i=1,2).在两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的概率为P(A1C2+A2C1),一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2),P(D)=P(A1C2+A2C1)+P(B1B2)=P(A1C2)+P(A2C1)+P(B1B2).由事件的独立性得P（D）0.40.1+0.10.4+0.50.5=0.33.,二、随机变量的分布列的求法 由随机事件的概率到随机变量的分布列是研究随机现象的一个飞跃，由对随机现象的局部
6、研究到对随机现象的整体全部的研究.,求离散型随机变量的分布列，要解决好以下两个关键问题：一是求出随机变量X的所有取值；二是求出随机变量X取各个值时的概率；求概率时通常要联系排列、组合的知识，古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率知识等进行求解.,例5 甲、乙等五名亚运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（3）设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的分布列.,【解析】（1）设甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，那么 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率
7、是 .（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，那么 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P( )=1-P(E)= .,（3）随机变量可能取的值为1，2，事件“=2”是指有两人同时参加A岗位服务，则所以P(=1)=1-P(=2)= ,的分布列是,三、随机变量的均值与方差的求法 离散型随机变量的均值和方差是随机变量中两个重要的特征数，他们反映了随机变量取值的平均值及其数据的稳定性，期望与方差在实际问题中有大量的应用.解决此类问题的关键是将实际问题转化为数学概率模型，然后再求解有关问题.,此类问题，通常与两点分布、二项分布等特殊分布的均值、方差公式相结合，结合有关性质灵活解答，如E（aX
8、+b）=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X).,例6 现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为 已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p（0p1），设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内下降的次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0，1，2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.,随机变量X1,X2分别表示对甲、乙两个项目各投资10万元一年后的利润.（1）求X1,X2的概率分布和均值E(X1),E(X2)；（2）当E(X1)E(X2)时，求
9、p的取值范围.,【解析】（1）X1的概率分布为所以由题设得XB(2,p)，即X的概率分布为,所以X2的概率分布是所以X2的均值是（2）因为E(X1)1.18，整理得(p+0.4)(p-0.3)0，解得-0.4p0.3，因为0p1，所以0p0.3，即当E(X1)E(X2)时，p的取值范围是p|0p4)=( )（A）0.158 8（B）0.158 7（C）0.158 6（D）0.158 5【解析】选B.由正态分布密度函数的对称性知,故选B.,（2）（2010山东高考）已知随机变量服从正态分布N（0，a2）,若P（2）=0.023,则P（-22）=( )（A）0.477（B）0.628（C）0.954（D）0.977【解析】选C.N(0,a2),正态曲线关于x=0对称.P（-22）=1-P(2)=1-2P(2)=0.954.,Thank you!,
