1、1知识与技能掌握平面的法向量的概念及性质理解平面的向量表示2过程与方法用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行或垂直问题3情感态度与价值观培养学生转化的数学思想，增强应用意识,重点：平面法向量的概念及性质难点：利用法向量法解决几何问题,平面的法向量从大纲上要求是了解，但实际上应用较广泛，如判定平面的平行或垂直问题，可转化为研究其法向量的平行或垂直问题；求线面角、面面角问题、距离问题都可结合平面的法向量解决因此在学习时适当提高要求，理解法向量的求法及简单应用给定一个点A和一个向量a，那么过点A的向量a为法向量的平面是确定的，平面的向量方程为a0(M为平面内任一点),设直线l的方向向量为u(
2、a1，b1，c1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则luvuv0a1a2b1b2c1c20；luvukv(kR)a1ka2，b1kb2，c1kc2.三垂线定理及逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知：只有平面内的直线，若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与射影所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直,三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题：(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，
3、证明异面垂直的问题；逆定理正好相反,1已知平面，如果一个向量n的基线与平面垂直，则向量n叫做_3设n1、n2分别是平面、的法向量，或与重合_；_.,4如果一条直线和_垂直，那么这条直线垂直于这个平面5如果在_内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的_垂直，则它也和这条_垂直；反之，如果和这个平面的一条_垂直，那么它也和这条斜线的_垂直,分析解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量,说明求一个平面的法向量一般有两种方法(1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段即可(2)代数法：即坐标法，步骤如下 ：设出平
4、面的法向量n(x，y，z)找出平面内的两个不共线向量v1，v2.,若本例条件不变，求平面SBD的一个法向量解析同例中坐标系，则B(0,1,0)，,例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M，分别为棱BB1、CD、AA1的中点(1)证明：C1M平面ADE；(2)证明：平面ADE平面A1D1F.,分析因为是正方体，所以此题可利用向量的坐标运算来解,如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点(1)求AE与D1F所成的角；(2)求证AE平面A1D1F.,例3在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD.求证ADBC.分析要证明ADBC，根据三垂线定理，只需证明
5、AD在平面BCD内的射影和BC垂直，因此，可作AO平面BCD于O点，问题即转化为证明ODBC.,解析方法一：如图所示，作AO平面BCD于O点，连结BO、CO、DO，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD上的射影,ABCD，BOCD(三垂线定理的逆定理)，同理COBD，于是O是BCD的垂心DOBC，于是ADBC(三垂线定理),说明应用三垂线定理证明两异面直线垂直，关键是确定其中一条直线在另一条直线所在平面上的射影,例4如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点求证：平面AMN平面EFDB.,分析根据面面平行的定义可证一个面中的两条相
6、交直线与另一个面中的两条相交直线对应平行，也可以证明这两个平面的法向量平行,BEEFE，BE、EF平面EFDB，平面AMN平面EFDB.方法二：如图，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a),且ANNMN，BEDBB，平面AMN平面EFDB.说明本题方法一和方法三的证明依据是面面平行的判定定理，用向量法使逻辑问题算法化，方法二主要用法向量来确定平面本题也可用共面向量定理，证明AM平面EFDB，AN平面EFDB.,已知正方体ABCDA1
7、B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：平面ADE平面B1C1F.解析建立如图所示的直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2，2)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，,例5在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点求证：平面BEF平面ABC.误解建立如图所示的空间直角坐标系,可得EF平面ABC，平面ABC平面BEF.辨析建立适当的空间直角坐标系，认真细心的计算，问题可正确解决,EFAB，EFBC.又ABBCB，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面ABC平面BEF.方法二
8、：BCD90，CDBC.又AB平面BCD，ABCD.又ABBCB，CD平面ABC，,平面BEF平面ABC.,一、选择题1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交答案B解析u2a，ua，la.,2已知ABC90，BC平面，AB与平面斜交，那么ABC在平面内的射影是()A锐角B直角C锐角或直角D锐角或直角或钝角答案B解析设B，C在平面内的射影分别为B，C，则BBCC为矩形，BCBC，BCAB，由三垂线定理BCAB，故选B.,3如果一条直线l与平面内的两条直线垂直，那么l与的位置关系是()A平行 B垂直Cl D不确定答案D解析直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.,二、填空题4设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面的法向量是n，有下面命题：答案解析对，有b，不正确易判断，正确,答案通过点A且与向量n垂直的平面,三、解答题6如图，E，F，G，H分别是所在棱的中点，求证：平面AEF平面C1GH.,
