1、,2.1函数,2.1.4函数的奇偶数,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,第二章函数,考点一,考点二,考点三,考点四,问题1：对于函数f(x)x2，f(x)|x|，以x代替x函数值发生变化吗？其图象有何特征？ 提示：以x代替x各自的函数值不变，即f(x)f(x)；图象关于y轴对称,问题2：对于函数f(x)x3与f(x) ，以x代替x函数值发生变化吗？其图像有何特征？ 提示：以x代替x各自的函数值互为相反数，即f(x)f(x)；图象关于原点对称,1奇、偶函数的概念,xD,f(x)f(x),xD,g(x)g(x),偶函数,2奇、偶函数的图象特征 (1)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是
2、以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 (2)如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于 对称，则这个函数是偶函数,坐标原点,坐标原点,y轴,y轴,(1)由定义可知，若x是定义域中的一个数值，则x也一定在定义域中.因此，奇偶函数的定义域一定是关于原点对称的.若不对称，则这个函数必不具有奇偶性，是非奇非偶函数. (2)函数的奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同.从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质,思路点拨先判
3、断定义域是否关于原点对称，然后按奇偶性的定义来判断,一点通判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法 (1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性 (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数,解析：A、D两项中，函数均为偶函数；B项中，函数为非奇非偶正数；C项中，函数为奇函数答案：C,2若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a()A2 B1C1 D2解析：f(x)(x1)(xa)是偶函数，f(x)(x1)(xa
4、)f(x)恒成立x2(a1)xax2(a1)xa恒成立.a10，即a1.答案：C,例2如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小 思路点拨法一：利用偶函数图象的对称性比较 法二：利用f(3)f(3)，f(1)f(1)比较 精解详析法一：函数f(x)是偶函数， 其图象关于y轴对称，如图 由图象可知f(1)f(3),法二：由图象可知f(1)f(3)又函数yf(x)是偶函数，f(1)f(1)，f(3)f(3)f(1)0时，f(x)2x1，求函数f(x)的解析式 思路点拨将x0上求解同时要注意f(x)是定义域为R的奇函数,一点通解答该类问题的思路： (1)“求谁设谁”，即求
5、哪个区间的解析式，x就设在哪个区间内(2)要利用已知区间的解析式进行计算(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x) 注意：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)0，但若为偶函数，则未必有f(0)0.,6若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)x23x1，则f(x)()Ax2 B2x2C2x22 Dx21,解析：f(x)g(x)x23x1，(1)f(x)g(x)x23x1.f(x)为偶函数，f(x)f(x)；g(x)为奇函数，g(x)g(x)f(x)g(x)x23x1.(2)联立可得f(x)x21.答案：D,7已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x
6、)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解：设x0.f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.,例4(12分)设定义在2,2上的奇函数f(x)在区间0,2上单调递减，若f(m)f(m1)0，求实数m的取值范围,精解详析由f(m)f(m1)0，得f(m)f(m1)，即f(1m)f(2)f(3)f(5)而f(1)f(1)，f(3)f(3)，故f(1)f(3)，f(3)f(5)，只有D正确答案：D,答案：A,(1)奇偶性与单调性的相关性质 若函数f(x)为奇函数，则当f(x)在区间a，b上是单调函数时，f(x)在其对称区间b，a上也是单调函数，且单调性相同 若函数f(x)为偶函数，则当f(x)在区间a，b上是单调函数时，f(x)在其对称区间b，a上也是单调函数，且单调性相反,(2)若奇函数在原点处有定义，则有f(0)0. (3)既是奇函数又是偶函数的函数表达式是f(x)0，xA.定义域A是关于原点对称的非空数集,点击此图片进入创新演练,
