1、3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离,1.了解两条直线的交点是由它们对应的方程组的解来确定的;会根据方程组的解的个数来判断两直线的位置关系.2.能利用两条直线交点的概念解决某些应用问题.3.掌握平面上任意两点间的距离公式应用它处理相关的数学问题.,1.设直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0.两条直线l1与l2的交点坐标就是方程组:A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0的_反过来,方程组的解就是_.当方程组有唯一解时,表示两直线l1与l2_;当方程组_时,表示两直线l1l2;当方程组有无穷多解时,表示两直线
2、_.,解,两直线l1与l2的交点坐标,相交,无解,重合,2.已知平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则|P1P2|=_.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=3.对于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,则P1P2与x轴垂直,此时|P1P2|=_;若y1=y2,则P1P2与y轴垂直,此时|P1P2|=_.显然,上述两种情形都适合两点间的距离公式.,|y2-y1|,|x2-x1|,1.关于两条直线相交的判定,(1)解两直线的方程组成的方程组,若只有一个公共解,则两直线相交.(2)在两直线的斜率都存在的条件下,若斜率不等,则两直线相交.,2.
3、两点间距离公式的推导两点间的距离公式的推导要依靠数轴上两点的距离的求法,因而在推导任意两点间距离公式之前,应熟悉下面两种情况:,(1)直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|;(2)直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.在此基础上,运用勾股定理就很容易得出平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式:|P1P2|=,3.用解析法证几何题的注意事项(1)用解析法证明几何题时,首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系,然后根据题中所给的条件,设出已知点的坐标.(2)再根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标.(3)另外,在证题过程中要不失一般性.,题
4、型一 两直线的交点的求法及应用,例1:分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2;4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.,解:(1)方程组 2x-y-7=0, 3x+2y-7=0.的解为 x=3, y=-1,因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).(2)方程组 2x-6y+4=0, 4x-12y+8=0.有无数组解,这表明直线l1和l2重合.,(3)方程组 4x+2y+4=0, 2x+y-3=0.无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1l2.,规律技
5、巧:求两直线的交点,就是解由两条直线方程组成的方程组,若方程组有一解,则两直线相交;若方程组无解,则两直线平行;若方程组有无数组解,则两直线重合.变式训练1:直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,求直线l的方程.,解:解方程组2x+3y+8=0,x-y-1=0,得x=-1,y=-2.两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2).又直线l经过原点,直线l的方程为即2x-y=0.,题型二 两点间距离公式的应用,例2:已知点A(1,2),B(2,0),P(0,3),Q(-1,1),M(1,0),N(-4,0),线段AB,PQ,MN能围成一个
6、三角形吗?为什么?,解:不能.由两点间距离公式,有,|AB|+|PQ|= 5=|MN|,线段AB,PQ,MN不能围成一个三角形.,规律技巧:三条线段构成三角形的条件是:任两条线段之和大于第三条线段,任两条线段之差小于第三条线段.变式训练2:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:ABC是等腰三角形.,证明:由两点间距离公式可得:|AC|=|BC|,又ABC三点不共线,ABC是等腰三角形.,题型三 综合问题,例3:(1)已知点A(-3,4),B(2, ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值;(2)已知点M(x,-4)与N(2,3)间的距离为7 ,求x的值.分析
7、:利用距离公式解决.,解:(1)设点P为(x,0)则有,变式训练3:已知A(4,-3)B(2,-1)和直线l:4x+y-2=0,求点P使|PA|=|PB|,且点P在直线l上.,解:点P在直线l上,可设P(a,2-4a).又A(4,-3)B(2,-1),由|PA|=|PB|可得(a-4)2+(5-4a)2=(a-2)2+(3-4a)2,易错探究,例4:当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0,l3:6x+y-5=0不能围成三角形.,错解:当三条直线两两相交,且过同一点时,不能构成三角形,当l2,l3相交于一点时,由3x-2y-5=0,6x+y-5=0,得l2与
8、l3的交点(1,-1).将交点(1,-1)代入l1的方程,得31-m-1=0,m=2.当m=2时,三线共点,不能围成三角形.,错因分析:错因是由于思维不严密造成的,一般容易想到三直线共点而忽视了三条直线任两条平行或重合时也不能围成三角形这个条件.,正解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不能围成三角形.由3x-2y-5=0,6x+y-5=0,解得x=1.y=-1.,将x=1,y=-1代入l1方程中,得m=2.当m=2时三条直线共点.又m=-2时,l1l2;又m=时,l1l3.当m=2或m=时,l1,l2和l3不能围成三角形.,基础强化,1.直线3x+5y-1=0与4x+3y-5=0
9、的交点是( )A.(-2,1) B.(-3,2)C.(2,-1)D.(3,-2),解析:由3x+5y-1=0,4x+3y-5=0.得x=2,y=-1.两直线的交点为(2,-1).,答案:C,2.已知点A(-2,-1),B(a,3)且AB=5,则a等于( )A.a=1B.a=-5C.a=1或-5D.其他值,解析:由两点间距离公式得,(a+2)2+(3+1)2=52,(a+2)2=9,a=1或a=-5.,答案:C,3.已知点M(-1,3),N(5,1),P(x,y)到MN的距离相等,则x,y满足的条件是( )A.x+3y-8=0B.x-3y+8=0C.x-3y+9=0D.3x-y-4=0,解析:由
10、|PM|=|PN|,得(x+1)2+(y-3)2=(x-5)2+(y-1)2,化简得3x-y-4=0.,答案:D,4.已知ABC的顶点A(2,3)B(-1,0),C(2,0)则ABC的周长是( ),答案:C,5.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(kR)所经过的定点是( )A.(5,2)B.(2,3)C.(- ,3)D.(5,9),解析:将含有待定系数的项放在一起,不含有待定系数的项放在一起,可得k(2x-y-1)-(x+3y-11)=0.直线经过2x-y-1=0和x+3y-11=0的交点.解得x=2,y=3.,答案:B,6.两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点
11、在y轴上,那么k的值是( )A.-24B.6C.6D.不同于ABC的答案,解析:两直线的交点在y轴上,可设交点的坐标为(0,y0),则有3y0-k=0, -ky0+12=0.由可得y0= ,将其代入得 +12=0.k2=36,即k=6.,答案:C,7.甲船在某港口的东50 km,北30 km处,乙船在同一港口的东14 km,南18 km处,那么甲乙两船的距离是_.,解析:以港口为坐标原点建立直角坐标系.则甲船位置为(50,30),乙船的位置为(14,-18),甲乙两船的距离为 =60(km).,60 km,8.过点A(4,a)和 B(5,b)的直线和直线y=x+m平行,则|AB|=_.,能力提
12、升,9.求m、n的值,使直线l1:y=(m-1)x-n+7满足:(1)平行于x轴;(2)平行于直线l2:7x-y+15=0;(3)垂直于直线l2:7x-y+15=0;,解:(1)当m=1且n7时,l1平行于x轴;(2)7x-y+15=0化为斜截式:y=7x+15,k2=7,b=15,当l1l2时,应有k1=7且b115即m-1=7且-n+715,m=8,n-8;(3)当(m-1)57=-1,即 nR时,l1l2.,10.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),试判断其形状.,11.(全国)已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程为( )A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5,答案:B,12.(上海高考)直线y=x关于直线x=1对称的直线方程是_.,x+2y-2=0,
