1、1.3全称量词与存在量 1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定,第1章常用逻辑用语,学习目标重点难点重点:利用全称量词和存在量词叙述数学内容.难点:对含有一个量词的命题进行否定.,学习导航,1.全称量词与全称命题(1)全称量词_、_、_等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“_”表示“对任意x”.(2)全称命题含有_的命题称为全称命题.,“所有”,“任意”,“每一个”,x,全称量词,2.存在量词与存在性命题(1)存在量词_、_、_等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“_”表示“存在x”.(2)存在性命题含有_的命题称为存在性命题.,“有一个”,“有些”,“存在一
2、个,x,存在量词,全称命题的形式:“对M中的所有x,p(x)”的命题,记为:_;存在性命题的形式:“存在集合M中的元素x,p(x)”的命题,记为:_.,xM,p(x),xM,p(x),想一想1.下列命题中为存在性命题的有哪些？偶函数的图象关于y轴对称;正四棱柱都是平行六面体;不相交的两条直线是平行直线;存在实数大于等于3.提示:都是全称命题.中有存在量词“存在”,是存在性命题.,3.全称命题的否定全称命题否定后,全称量词变为_,“肯定”变为“_”,即“xM,p(x)”的否定是“_”.4.存在性命题的否定存在性命题否定后,存在量词变为_,“肯定”变为“_”,即“xM,p(x)”的否定是“_”.,
3、存在量词,否定,xM,p(x),全称量词,否定,xM,p(x),做一做2.(1)命题“xR,x2x10”的否定是_.(2)命题“xR,x24x60”的否定是_.,xR,x2x10,xR,x24x60.利用配方法可以证得q是一个真命题.(3)这一命题的否定形式是r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.由平面几何知识知r是一个假命题.,(4)这一命题的否定形式是s:存在R,使sin2cos21.由于命题s是真命题,所以s是假命题.,【名师点评】(1)一般而言,全称命题的否定是一个存在性命题,存在性命题的否定是一个全称命题.因此,在叙述命题的否定时,要注意量词间的转换.(2)注意原命题中是否有省
4、略的量词,要理解原命题的本质.如“三角形有外接圆”的本质应为“所有三角形都有外接圆”,因此,其否定为“存在一个三角形没有外接圆”.,解:(1)命题的否定:“存在一个非负数,它的平方不是正数.”因为020,不是正数,所以该命题是真命题.,题型三利用全称命题和存在性命题求参数的取值范围 (本题满分14分)x1,2,使4x2x12a0恒成立,求实数a的取值范围.【思路点拨】看作关于2x的二次函数最值问题.,【名师点评】理解并转化往往是解题的关键,本题中恒成立问题转化为求函数的最值问题.,互动探究3.本例改为:x1,2,使4x2x12a0成立,求实数a的取值范围.,1.(1)设集合S四边形,p(x):
5、内角和为360.试用不同的表述方法写出全称命题“对任意的xS,p(x)”;(2)设q(x):x2x.试用不同的表述方法写出存在性命题“xR,q(x)”.,解:(1)依题意可得以下几种不同的表述:对所有的四边形,其内角和都是360.对一切四边形,其内角和都是360.每一个四边形的内角和都是360.任意一个四边形的内角和都是360.(2)至少有一个xR,使x2x成立.存在一个xR,使x2x成立.对某个xR,使x2x成立.,方法技巧1.定义法判断全称命题和存在性命题在判断一个命题是否是全称命题或存在性命题时,关键要根据定义确定命题中的一些关键词,看这些词是表示全体还是表示部分,如果表示全体,则该命题
6、为全称命题,如果表示部分,则为存在性命题.,2.一般而言,全称命题的否定是一个存在性命题,存在性命题的否定是一个全称命题,因此在书写它们的否定时,相应的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词.3.判断全称命题真假的两种方法(1)定义法:对给定的集合中的每一个元素x,p(x)都为真;,(2)代入法:在给定的集合内找出一个x,使p(x)为假,则全称命题为假.4.要判断存在性命题的真假,用代入法:在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真,否则命题为假.,失误防范要正确地对含有一个量词的命题进行否定,一方面要充分理解量词的含义,注意原命题中是否有省略的量词,从而理解原命题的本质;另一方面还要充分利用原命题与它的否定在形式上的联系,即“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)”,“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)”.,本部分内容讲解结束,按ESC键退出全屏播放,
