1、,洛南中学 蒋小军,2009年3月17日,数系的扩充与复数的引入,一. 人类对数的认识怎样逐步扩展？,生产社会实践,为了计数的需要,为了表示相反意义的量,为了分配的需要,计算圆面积的需要,数学本身的发展,2x-4=0,2x+4=0,3x-7=0,X2=2,科技进一步发展,X2=-1,N,Z,Q,R,C,数集之间的关系：,C,R,Q,Z,N,（一）虚数单位i,1 . 规定：,2. 形如a+bi(a, b R)的数叫复数，常用一个字母Z表示，即Z =a+bi(a,b R),(2）实数与它进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。,(1) =1,（4）复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C.,注意
2、:（1）Z=a+bi(a, b R)叫复数的代数形式,（2）以后说复数a+bi, 都有 a,b R,（3）a叫复数a+bi(a,b R)实部,记作Re(z);b叫a+bi(a,b R)的虚部，用Im(z)表示。,（二）复数的分类,复数a+bi,实数（b=0),虚数（b0),纯虚数 (a=0),非纯虚数(a0),例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数请指出是否为纯虚数：,(1) 3+4i (2) (3)-7,解：（1）3+4i的实部与虚部分别是3 与 4 ，它是虚数，但不是纯虚数。,（2） 的实部与虚部分别是 0 与 ，它是虚数，而且是纯虚数。,（3） 7的实部
3、与虚部分别是7与0，它是实数。,（1）实数 （2）纯虚数 （3）零,例2 : m( )取什么值时，复数Z=(m23m4)+(m25m6)i是,例3. 当m取何值时，z是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零,（三）复数的几何意义,我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示。类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么？,（1）复平面,当直角坐标平面用来表示复数时，称之为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴。,复数Z=a+bi( a,b )可以用直角坐标平面内的一个点Z来表示，这个点的横坐标是a,纵坐标是b.,(2)复数的几何意义,任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b
4、)是一一对应的。,（3)复数的模,设复数Z=a+bi在复平面内对应的点是Z(a,b),点Z到原点的距离 叫作复数的模或绝对值，记作 。,注：两个不全是实数的复数不能比较大小，但可以比较它们模的大小。,例4 在复平面内表示下列复数，并分别求出它们的模：,（1）-2+3i (2) + i (3) 3-4i (4) -1-3i,例5 求下列复数的模： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i,(3)满足|z|=5(zC)的z值有几个？,思考：,(2)满足|z|=5(zR)的z值有几个？,(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a-3ai(a0),(1)复数的模能否比较大小
5、？,这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？,练习：,1.说出下列复数的实部与虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数指出是否为纯虚数：,(1)1+ i (2) (3) (4) 0,2. 在复平面上作出表示下列复数的点,3.设复数Z=a+bi和复平面内点Z(a,b)对应，若点Z分别位于下列位置，求a,b满足的条件：,（1） 实轴上,（2） 虚轴上,（3） 实轴上方（不包括实轴）,（4） 虚轴左侧（不包括虚轴）,4. 求下列复数的模：,（1）Z=5+12i,(2) Z= 4i5,(A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；(C)在复平面内，
6、实轴上的点所对应的复 数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。,辨析：,1下列命题中的假命题是（ ）,D,2“a=0”是“复数a+bi (a , bR)所对应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件,C,例6 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。,变式：证明对一切m，此复数所对应的点不可能位于第四象限。,解题思考：,表示复数的点所在象限的问题,复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题,转化,(几何问题),(代数问题),一种重要的数学思
7、想：数形结合思想,问题一：,你认为满足什么条件时，可以说这两个复数相等？,对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d R ) ，,a=c,并且b=d，即实部与虚部分别相等时，叫这两个复数相等。,记作a+bi=c+di。,复数相等的内涵：,复数a+bi可用有序实数对(a,b)表示。,例7 设x，yR，并且 (2x1)+xi=y(3y)i，求x，y。,解题思考：,复数相等的问题,转化,求方程组的解的问题,一种重要的数学思想：转化思想,问题二：,任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。,课堂小结：,欢迎指导,谢谢,欢迎指导,谢谢！,x,o,1,问题三：,你能否找到用来表示复数的几何模型呢？,实数可以用数轴上的点来表示。,一一对应,规定了正方向，,直线,数轴,原点，,单位长度,实数,数轴上的点,(形),(数),(几何模型),复数z=a+bi,有序实数对(a,b),直角坐标系中的点Z(a,b),x,y,o,b,a,Z(a,b),建立了平面直角坐标系来表示复数的平面,x轴-实轴,y轴-虚轴,（数）,（形）,-复数平面 (简称复平面),一一对应,z=a+bi,概念辨析,例题,
