1、三个二次的关系,三、三个“二次”及关系包括,三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法. 会解决“一元二次方程根的分布”问题，培养数形结合的数学思想。,1.2 三个“二次”及关系,三个“二次”的基本关系：,图象,例1: 解关于x的不等式：,含参数一元二次不等式的解法,练习：解关于x的不等式： ( a 1 ) x 2 - ( a 2 ) x 1 0,f(x)在区间
2、p,q上的最大值M，最小值m.,若 p,则 f(p)=m, f(q)=M;,若 q,则 f (p)=M, f (q)=m.,若 p x0,则 f ( )=m, f (q)=M;,若 x0 q,则 f (p)=M,f ( )=m;,1.2 三个“二次”及关系,2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.,符号根问题：,从、x1+x2、 x1x2三方面列不等式（组）,两正根,两负根,异号根,1.2 三个“二次”及关系,2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.,(1)方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小:,(2)二次方程f(x)=0的两根都大于r:,a
3、f(r)0;,区间根问题：从、顶点横坐标、端点值三方面 列不等式（组）,1.2 三个“二次”及关系,2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.,(3)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内有两根:,1.2 三个“二次”及关系,2.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.,(4)二次方程f(x)=0在区间(p,q)内只有一根:,或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立.,f(p)f(q)0,(5)方程f(x)=0两根的一根大于q,另一根小于p (p0时，f()f() |+ |+ |,a0时，二次不等式f(x)0在p,q恒成立,1
4、.2 三个“二次”及关系,例1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx 其中a、b、c满足: abc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.,(1)证明：由 消去y得:ax2+2bx+c=0,=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2),a+b+c=0, abc,0,即两函数的图象交于不同的两点.,a0,cbc, a+b+c=0, a0, c-a-cc,解得:,1.2 三个“二次”及关系,的对称轴方程是:,|A1B1|2(3,12),为减函数.,1.2
5、 三个“二次”及关系,例1.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx 其中a、b、c满足: abc,a+b+c=0,(a,b,cR).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.,命题意图：本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.,知识依托：解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.,技巧与方法：利用方程思想巧妙转化.,错解分析：由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.,1.2 三个“二次”及关系,例2.已知
6、关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一 根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.,1.2 三个“二次”及关系,解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交 点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出示意图,1.2 三个“二次”及关系,(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组:,1.2 三个“二次”及关系,例2.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1，0)内，另一 根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若
7、方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.,命题意图：本题重点考查方程的根的分布问题.,知识依托：解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二 次函数性质所具有的意义.,错解分析：用二次函数的性质对方程的根进行限制 时，条件不严谨是解答本题的难点.,技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应 的示意图，然后用函数性质加以限制.,1.2 三个“二次”及关系,例3. 设二次函数f(x)=x2+x+a(a0),若f(m)0,则 f (0)0,解析：f(x)=x2+x+a的对称轴为:,而 f (m)0, f (m+1) 0.,1.2 三个“二次”及关系,1.2 三个“二次”及关系,1.2 三个“二次”及关
8、系,探究.已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在0，+) 上是增函数，是否存在实数m,使f(cos2 - 3) +f(4m-2mcos)f(0)对所有0, 都成立？ 若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若 不存在，说明理由.,1.2 三个“二次”及关系,命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力.,错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.,知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.,技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决
9、问题.,【巩固提高】,【练习1】设二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=-3,被x轴截得的线段长为4,（1）求f(x)的解析式;（2）若x-4,0,求f(x)max与f(x)min;（3）若x-2,2,求f(x)max与f(x)min;（4）若x0,4,求f(x)max与f(x)min;（5）若x2,6,求f(x)max与f(x)min;（6）若xt,t+2,求f(x)max =g(t)与f(x)min =h(t).,【练习2】f(x)=x2-2ax-3在区间0,2上的最值问题.,【练习3】关于x的函数f(x)=ax2+(2a-4)x+1(aR) (1)若f(x)=0 有实数根,求a的范围.有两正实数根,求a的范围.若两根都大于-2? 若一根在(01)内另一根在(1,2)内? 在区间1/2，2内有解，求a的取值范围；,(3) 已知定点A（0，-7），B（7，0），若函数y=f(x)的图象与线段AB有两个不同交点，求a 的取值范围；若有公共点呢？若仅有一个公共点呢？ 函数f(x)在0,+上为单调递增函数，求a的取值范围；若为单调区间呢？ 若函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点与y轴交于点C且ABC的面积小于|a|，求a的取值范围； 函数f(x)在-1，3上有最大值5，求a的值；若最小值为1呢？,
