1、2.4正态分布,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,3,4,5,1.正态曲线(1) ,x(-,+),其中实数和(0)为参数.我们称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线 .(2)随机变量X落在区间(a,b的概率为P(aXb) ,即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积(如图阴影部分),就是X落在区间(a,b的概率的近似值.,目标导航,预习导引,1,2,3,4,5,目标导航,预习导引,1,2,3,4,5,2.正态分布一般地,如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aC),则C等于()A.0B.C.-D. 提示:正态分布
2、在x=对称的区间上概率相等,则C=.,目标导航,预习导引,1,2,4,3,5,4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率若XN(,2),则对于任何实数a0,概率P(-aX+a)= ,(x)dx.特别地,有P(-X+)=0.682 6,P(-2X+2)=0.954 4, P(-3X+3)=0.997 4.,目标导航,预习导引,1,2,4,5,3,5.3原则正态变量在(-,+)内的取值的概率为1,正态总体几乎总取值于区间(-3,+3)之内,而在此区间以外取值的概率只有0.002 6,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,因此在实际应用中通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3,+3
3、)之间的值,简称为3原则.,目标导航,预习导引,1,2,4,5,3,预习交流3(1)如何求服从正态分布的随机变量X在某区间内取值的概率?提示:首先找出服从正态分布时,的值,再利用3原则求某一个区间上的概率,最后利用在关于x=对称的区间上概率相等求得结果.(2)正态总体N(4,4)在区间(2,6内取值的概率为.提示:由题意知=4,=2,所以P(-X+)=P(20.在不同的正态分布中,的取值是不同的,这是正态分布的两个特征数. (3)解析式中前面有一个系数 ,后面是一个以e为底数的指数函数的形式,幂指数为- ,其中这个参数在解析式中的两个位置上出现,注意两者的一致性.,一、正态曲线及其性质,一,二
4、,三,典题例解,迁移应用,知识精要,【例1】 如图所示是一个正态曲线,试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式,求出总体随机变量的数学期望和方差.,思路分析:给出一个正态曲线就给出了该曲线的对称轴和最大值,从而就能求出总体随机变量的期望、标准差以及解析式.,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,如图是正态分布N(, 1 2 ),N(, 2 2 ),N(, 3 2 )(1,2,30)相应的曲线,那么1,2,3的大小关系是(),A.123B.321C.132D.213 答案:A,一,二,三,知识精要,典
5、题例解,迁移应用,利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求概率时,要注意以下两点:(1)熟记正态曲线关于直线x=对称,从而在关于x=对称的区间上概率相等.(2)P(X+a).,二、利用正态曲线的对称性求概率,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,【例2】 已知随机变量X服从正态分布N(2,2),P(X4)=0.84,则P(X0)等于 ()A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84思路分析:画出正态曲线,结合其意义及特点求解.答案:A 解析:由XN(2,2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则P(X0)=P(X4)=1-P(X4)=1-0.84=0.16.,一,二,三,典题例解,
6、迁移应用,知识精要,1.若随机变量服从正态分布N(0,1),已知P(1.96)=0.025,故P(|1.96)=1-P(1.96)-P(-1.96)=0.950.2.设XN ,则P(-1X1)的值为.答案:0.954 4解析:由题意可知,=0,= ,故P(-2X+2)=P(-1X1)=0.954 4.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法:(1)根据题目中给出的条件确定,的值;(2)将待求问题向(-,+,(-2,+2,(-3,+3这三个区间转化; (3)利用上述区间求出相应的概率.,三、正态分布的应用,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,【
7、例3】 在某次数学考试中,考生的成绩服从一个正态分布,即N(90,100).(1)则考试成绩位于区间(70,110内的概率是多少?(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩在(80,100间的考生大约有多少人?思路分析:正态分布已经确定,则总体的数学期望和标准差可以求出,这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.解:N(90,100),=90,= =10.(1)由于正态变量在区间(-2,+2内取值的概率是0.954 4,而该正态分布中,-2=90-210=70,+2=90+210=110,于是考试成绩位于区间(70,110内的概率就是0.954 4.(2)由=90,
8、=10得-=80,+=100.由于正态变量在区间(-,+内取值的概率是0.682 6,所以考试成绩 位于区间(80,100内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生,所以考试成绩在(80,100间的考生大约有2 0000.682 61 365(人).,一,二,三,典题例解,迁移应用,知识精要,为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是()
9、,A.997B.954C.819D.683答案:D解析:由题意,可知=60.5,=2,故P(58.5X62.5)=P(-X+)=0.682 6,从而属于正常情况的人数是1 0000.682 6683.,误区警示,思悟升华,类题试解,案例探究,易错考点:正态曲线的特征认识不清导致错误,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)等于() A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2,答案:C解析:如图,正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称,所以P(2)=0.5,并且P(02)=P(24),则P(02)=P(4)-P(2)=0.8-0.5=0.3.,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,案例探究,误区警示,思悟升华,类题试解,掌握正态曲线的特征正态曲线是“钟”形的对称曲线,对称轴两侧的面积相等,即概率相等,如本例中(0,2)与(2,4)为对称区间,对应概率相等.,案例探究,误区警示,类题试解,思悟升华,已知XN(0,2)且P(-2X2)为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案:A解析:因为XN(0,2)且P(-2X2)= (1-0.8)=0.1.,
