1、2.3数学归纳法,1.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单命题.2.理解数学归纳法两个步骤的作用,进一步规范书写的语言结构.,数学归纳法一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0时命题成立;(2)在假设当n=k(kN+,且kn0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立.,名师点拨数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法,它是一种完全归纳法,是对不完全归纳法的完善.证明分两步,其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”.运用数学归纳法证明有关命题时应注
2、意以下几点:(1)两个步骤缺一不可;(2)在第一步中,n的初始值不一定从1取起,也不一定只取一个数(有时需取n=n0,n0+1等),证明应视具体情况而定;,(3)在第二步中,证明n=k+1时命题成立,必须使用归纳假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效;(4)证明n=k+1时命题成立,要明确求证的目标形式,一般要凑出归纳假设里给出的形式,以便使用归纳假设,然后再去凑出当n=k+1时的结论,这样就能有效减少论证的盲目性.,解析:因为从n=k到n=k+1的证明过程中没有用到归纳假设,所以从n=k到n=k+1的推理不正确.答案:D,1.利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项?剖
3、析:(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步,即n=k+1时命题为什么成立.n=k+1时命题成立是利用假设n=k时命题成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的,而不是直接代入,否则n=k+1时命题成立也成假设了,命题并没有得到证明.(2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.,2.运用数学归纳法时易犯的错误有哪些?剖析:(1)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生什么变化被弄错.(2)没有利用归纳假设:归纳假设是必须要用的.假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了.(3)关键步
4、骤含糊不清,“假设n=k时结论成立,利用此假设证明n=k+1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步,也是证明问题中最重要的环节,要把推导的过程和步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思理解等式的特点:在等式左边,当n取一个值时,对应两项,即 1 21 1 2 ;在等式右边,当n取一个值时,对应一项.无论n取何值,应保证等式左边有2n项,而等式右边有n项,然后再按数学归纳法的步骤要求给出证明.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思应用数学归纳法证明不等式时,往往通过拼凑项或拆项用上归纳假设,再应用放缩法或其他证明不等式的方法证得n=k+1时命题成立.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思先计算出一个数列的前几项,用不完全归纳法猜想得到通项公式,再用数学归纳法给予证明,这是解数列问题的常见思路.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,
