1、3.3.2简单线性规划问题,可行域上的最优解,问题1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?,若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?,把问题1的有关数据列表表示如下:,设甲,乙两种产品分别生产x,y件,将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y都是有意义的.,设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可
2、得:,问题：求利润2x+3y的最大值.,若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:,当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?,当点P在可允许的取值范围变化时,M（4，2）,问题：求利润z=2x+3y的最大值.,象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件,Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数,在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划,满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域,使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解,变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元
3、，采用哪种生产安排利润最大？,N（2，3）,变式：求利润z=x+3y的最大值.,练习解下列线性规划问题：,1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：,Zmin=-3,Zmax=3,解线性规划问题的步骤：,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行 域有公共点且纵截距最大或最小的直线,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,体验:,二、最优解一般在可行域的顶点处取得,三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关， 而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关,一、先定可行域和平移方向，再找最优解。,小 结
4、,本节主要学习了线性约束下如何求目标函数的最值问题 正确列出变量的不等关系式,准确作出可行域是解决目标函数最值的关健 线性目标函数的最值一般都是在可行域的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚.,简单的线性规划问题（二）,一、复习概念,y,x,4,8,4,3,o,把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。,满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。,在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。,一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件,由所有可行解组成
5、的集合叫做可行域。,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。,可行域,可行解,最优解,二.回顾解线性规划问题的步骤,（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有 公共点且纵截距最大或最小的直线,（3）求：通过解方程组求出最优解；,（4）答：作出答案。,（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；,练习解下列线性规划问题：,1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：,Zmin=-3,Zmax=3,例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t
6、、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮， 能够产生利润Z万元。目标函数为Zx0.5y， 可行域如图：,把Zx0.5y变形为y2x2z，它表示斜率为2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。,x,y,o,由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。,答：生产甲种、乙种肥料各 2车皮，能够产生最大利 润，
7、最大利润为3万元。,M,容易求得M点的坐标为（2，2），则Zmax3,3、制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和50，可能的最大亏损率分别为30和10. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？,【解题回顾】要能从实际问题中，建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.,解：设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元,依题意线性约束条件为：,目标函数为：,作出可行域
8、,可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大,由,（万元）,答：,例4、画出不等式x+4y4表示的平面区域。,解：先作出边界x+4y=4，因为这条线上的点都不满足x+4y4，所以画成虚线,取原点（0，0），待入x+4y4，因为,0+404=-40,所以原点（0，0）在x+4y-40表示的平面区域内，不等式x+4y4表示的平面区域。,x+4y0,B0,Ax+By+C0在右下方,(2)A0,B0,Ax +B y+ C0在右上方,Ax+By+C0在左下方,例 5、用平面 区域表示不等式组,y-3x+12x2y,的解集。,分析：由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式，因此二元一次不等式组所表示
9、的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分。,解：不等式y-3x+12即3x+ y120，表示的平面区域在直线3x+ y12=0的左下方；,不等式x2y即x2y0，表示的是直线x2y=0的左上方的区域,取两区域重叠的部分，即阴影部分就表示原不等式组的解集,例6 、要将两种大小不同的钢板截成三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：,规格类型,钢板类型,今需要三种规格的成品分别为15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求。,解：设需要截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则,2x+y15,X+2y18,X+3y 27,x 0,y 0,
10、0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,2,4,6,8,10,12,14,16,18,2x+y=15,X+2y=18,X+3y=27,例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。,解：设x,y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件,4x+y10,18x+15y 66,x0,y 0,4x+y=10,18x+15y
11、=66,练习题,1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,解： 设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为Z千元，目标函数为Z3x2y，满足的条件是,Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时，截距最大，Z最大。,M,解方程组,可得M（200，100）,Z 的
12、最大值Zmax 3x2y800（千元）,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。,小 结：,二元一次不等式表示平面区域,直线定界，特殊点定域,简单的线性规划,约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解,求解方法：画、移、求、答,作 业: 课本 P106 4,简单的线性规划问题（三）,复习回顾：,二元一次不等式表示平面区域,直线定界，特殊点定域,简单的线性规划,约束条件,目标函数,可行解,可行域,最优解,求解方法：画、移、求、答,例、要将两种大小不同规格的钢板截成A、 B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：,今需要A,B,C三种规格的成品分别为
13、15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。,解：设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张，可得,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.,答:(略),作出一组平行直线z= x+y，,目标函数z=x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出一组平行直线z = x+y，,目标函数z = x+y,当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解.作直线x+y=12,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),调整优值法,1. 线性规划的讨论范围：教材中讨论了两个变量的线性规划问题，这类问题可以用图解法来求最优解，但涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法来解；,2. 求线性规划问题的最优整数解时，常 用打网格线和调整优值的方法，这要求作图必须精确，线性目标函数对应的直线斜率与其他直线的斜率关系要把握准确,15,练习:,课后练习,请预习3.4基本不等式,
