1、单元整合,专题一,专题二,专题一曲线的参数方程与普通方程的互化(1)将曲线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步骤为:将参数t用变量x表示;将t代入y的表达式;整理得到x,y的关系式,即为所求的普通方程.,专题一,专题二,(2)参数方程与普通方程的区别与联系.曲线的普通方程F(x,y)=0是相对参数方程而言,它反映了坐标变量x与y之间的直接联系;而参数方程 =(), =() (t为参数)是通过参数t反映坐标变量x与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多1;在曲线的参数方程中,有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多1,从这个意义上讲,曲线的普通
2、方程和参数方程是“一致”的.(3)参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式.参数方程普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.,专题一,专题二,【应用1】 已知圆(x-r)2+y2=r2(r0),点M在圆上,O为原点,以MOx=为参数,则圆的参数方程为()A. =cos, =sin B. =(1+cos), =sin C. =cos, =(1+sin) D. =(1+cos2), =sin2,专题一,专题二,解析:如图,设圆心为O,连接OM.O为圆心,MOx=2. =+cos2, =sin2. 答案:D,专题一,专题二,【应用2】 求在下列条件下普通方程4x2+y2=16
3、对应的参数方程:(1)设y=4sin ,为参数;(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数.提示:对于(1),可以直接把y=4sin 代入已知方程,解方程求出x即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任意一点的坐标之间的关系来求解.解:(1)把y=4sin 代入方程,得到4x2+16sin2=16,于是4x2=16-16sin2=16cos2.所以x=2cos .由于参数的任意性,可取x=2cos ,因此4x2+y2=16的参数方程是 =2cos, =4sin (为参数).,专题一,专题二,(2)设M(x,y)是曲线4x2+y2=16上异于点A的任意一点,则 4 =k(x0),将y=kx+4代
4、入方程,得x(4+k2)x+8k=0.所以 = 8 4+ 2 , = 4 2 +16 4+ 2 (k为参数).易知A(0,4)也适合此方程,另有一点 =0, =4. 所以所求的参数方程为 = 8 4+ 2 , = 4 2 +16 4+ 2 (k为参数)和 =0, =4.,专题二曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x,y之间的间接关系.其中的参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时,要充分注意参数的取值范围.常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等.【应用1】 求点M0(0,2)到双曲线x2-y2=1的最小距离(即双曲线上任一点M与点M0间距离的
5、最小值).解:把双曲线方程化为参数方程 =sec, =tan (为参数).设双曲线上的动点为M(sec ,tan ),则|M0M|2=sec2+(tan -2)2=tan2+1+tan2-4tan +4=2tan2-4tan +5=2(tan -1)2+3,当tan -1=0,即tan =1时,|M0M|2取最小值3,此时有|M0M|= 3 ,即点M0到双曲线的最小距离为 3 .,专题一,专题二,专题一,专题二,【应用2】 椭圆 2 16 + 2 4 =1上有P,Q两点,O为椭圆中心,OP,OQ的斜率分别为kOP,kOQ,且kOPkOQ=- 1 4 .(1)求|OP|2+|OQ|2的值;(2)
6、求线段PQ中点的轨迹方程.提示:利用椭圆的参数方程,设出P,Q的坐标,再依题意求解.,专题一,专题二,解:(1)设P(4cos 1,2sin 1),Q(4cos 2,2sin 2).因为kOPkOQ=- 1 4 ,所以 2sin 1 4cos 1 2sin 2 4cos 2 =- 1 4 .所以cos(1-2)=0.所以1-2=k+ 2 (kZ).所以sin21=cos22,cos21=sin22.所以|OP|2+|OQ|2=16cos21+4sin21+16cos22+4sin22=20,即|OP|2+|OQ|2=20.,专题一,专题二,(2)设线段PQ的中点坐标为(x,y),则 =2(cos 1 +cos 2 ), =sin 1 +sin 2 . 所以 2 4 +y2=(cos 1+cos 2)2+(sin 1+sin 2)2=2+2cos(1-2)=2.所以线段PQ中点的轨迹方程为 2 8 + 2 2 =1.,
