1、平面向量,两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则ab；,若mn，nk，则mk；若ab，bc，则ac.其中不正确的命题的个数为()A2 B3 C4 D5,B,点评:向量相等应满足两个条件:模相等;方向相同.还要注意零向量的特殊性,尤其是判断向量共线是不要忽略零向量.,(1) 叫做向量的加法向量加法有和 (2) ：从法则可以看出，如下图所示,向量的线性运算,求两个向量和的运算,三角形法则,平行四边形法则,向量加法的几何意义,注意:逆用以上向量的和式,即把一个向量表示为若干个向量和的形式,是解决向量问题的关键.,(3) ，向量减法法则：三角形法则，其几何意义如下图所示,减去一个向
2、量相当于加上这个向量的相反向量,，这种运算叫做向量的数乘，记作a.它的长度与方向规定如下： ；,（4）向量数乘运算及其几何意义,实数与向量a的积是一个向量,|a|a|,当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，,a的方向与a的方向相反，0时，a .,统称为向量的线性运算,三两个向量共线定理,向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，,使ba.,向量的加、减、数乘运算,a、b、c为任意向量，、u、u1、u2为任意实数ab；(ab)c ；(ua)；(u)a；(ab) ；(u1au2b) 。,四运算律,ba,a(bc),(u)a,aua,ab,u1au2b.,平面向量的基本定理如果 是一个平面内
3、的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。,A,B,D,M,C,E,N,P81例2,考点一 平面向量的线性运算,（11四川理4）如图，正六边形ABCDEF中，,D,A,F,E,D,C,B,B,A,过ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E若 ， ，,，则,（A）4 （B）3 （C）2 （D）1,的值为（ ）,特殊位置法,考点二 共线向量,(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.,点评与警示(
4、1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线,(2009北京，2)已知向量a、b不共线，ckab(kR)，dab.如果cd，那么()Ak1且c与d同向 Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向 Dk1且c与d反向答案D,1,（11北京理）已知向量a=（ ，1）b=（0，-1），c=（k， ）。若a-2b与c共线，则k=_。,D,P79变式训练2（2011广东惠州调研）,A,三点
5、共线定理,平面向量的坐标运算,2.向量的坐标运算,3.向量平行的坐标表示: (向量平行这一问题代数化),B,注意坐标法的应用,C,基 础 训 练,平面向量的数量积,已知两个非零向量a、b，作OA=a,OB=b,.,当= 时，a与b垂直，记作ab;当=0时，a与b共线且同向；当=时，a与b共线且反向,特别注意：（1）结合律不成立： ；（2）消去律不成立 不能得到（3） =0不能得到 = 或 =但是乘法公式成立： ； ；,1.若,（2,3）,(4,7),则,在,方向上的投影是_.,向量的投影,数量积运算,D,（11上海理11）在正三角形ABC中，D是BC上的点， AB=3,BD=1, 则,求 模,
6、1(2008江苏，5)已知向量a与b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.,7,练习：,C,向量的夹角,A,【答案】A,向量的垂直,3.,平面向量的应用,(1)设a、b是两个非零向量，夹角记为，则cos.(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)是平面向量，则cos.,1用向量法求角,(1)对非零向量a与b，ab0(2)若非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab(1)向量a与非零向量b共线，当且仅当有唯一一个实数解，.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)是平面向量，则向量a与非零向量b共线的充要条件是,2用向量法处理垂直问题,3用向量法处理平行问题,ab.,y1y20.,x1x2,使ab,x2y1x1y20.,4用向量法处理距离(或长度)问题,(1)设a(x，y)是平面向量，则 ，即|a|(2)若A(x1，y1)、B(x2，y2)，且,a2|a|2x2y2,(1)向量在中的应用(2)向量在中的应用,5向量在物理中的应用,力的分解与合成,速度的分解与合成,例1：已知向量,（1）若,求向量,与,的夹角；,（2）当,时，求函数,的最大值。,，,例2 (09上海）已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量,
